偏導関数の応用の問題です。 与えられた正数aを3つの正数x,y,zに分けて、x^m・y^n・z^pが

偏導関数の応用の問題です。
与えられた正数aを3つの正数x,y,zに分けて、x^m・y^n・z^pが最大になるようにせよ。(m,n,p>0)

解説していただけると幸いです

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/24 20:51

f=x^m・y^n・z^p

g=x+y+z-a=0

したがって、g=0 , x,y,z≧0 の有界閉集合(第一象限の３角形)上の連続
関数 fには必ず最大最小が存在する。また、
f≧0 であり、f(0,y,z)=f(x,0,z)=f(x,y,0)=0 なので、fの最小値は、領域
境界のすべてとなる。

したがって、最大は領域の内部にある。境界を除いた開集合上の微分可
能な関数fの最大は、停留点（極大）となる。

停留点を求めるためラグランジュにより
　fx=λgx → mx^(m-1)・y^n・z^p=λ → mf/x=λ
同様に
　nf/y=λ、pf/z=λ
を得る。したがって
　x/m=y/n=z/p
となり、これを g=0 に入れると
　x=ma/(m+n+p) , y=na/(m+n+p) , z=pa/(m+n+p)
を得る。

停留点は、この一つだから、これが最大値となる。fの値は代入する
だけだが、面倒なので略。