数学の証明

添付している写真の問題を証明していただきたいです。解答ではf(x)=e^bxと仮定して、f’(0)=bになることを利用していましたが、なぜその仮定ができるのかが分かりません。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/05 17:24

指数関数のマクローリン展開 e^z = 1 + z + (1/2)z^2 + (1/6)z^3 + ... に

z = h log b を代入すると、b^h = 1 + h log b + (1/2)(h log b)^2 + (1/6)(h log b)^3 + ...
変形して、(1/h)(b^h - 1) = log b + (1/2)h(log b)^2 + (1/6)(h^2)(log b)^3 + ...
h = 1/x を代入すると、
x(b^(1/x) - 1) = log b + (1/2)(1/x)(log b)^2 + (1/6)(1/x^2)(log b)^3 + ...
ここで x→∞ の極限をとると、
lim[x→∞] x(b^(1/x) - 1) = log b + (1/2)(1/x)(log b)^2 + (1/6)(1/x^2)(log b)^3 + ...
= log b.