【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

∫f(x)dxやdx/dtなどとよく使われるdの意味がよくわからなくなってしまいました。例えば∫f(x)dxの場合
は『関数f(x)をxで積分する』で、dx/dtは『x(関数)をtで微分』という意味はわかるのですが、dにはもっと深い意味があるような気がするのです。数学の授業でdx/dtを先生はdxとdtでばらして使ったりしています。本当にそんなことが可能なのでしょうか。先生はdの意味をよく教えてくれないのです。お願いだから誰が教えてください。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (7件)

微分とは限りなく小さい範囲のものを考えていく関数の為、


とてつもなく小さいxの範囲の場合はΔx(デルタx)、時間tのとてつもなく小さい範囲はΔtと記載します。

それらを関数の中ではデルタの頭文字dを使い、dxやdtと表しているのです。
    • good
    • 23

● 私は ANo.#3 #6 で回答した者です。



● 変数x の 関数f(x), 変数y の 関数g(y) として、「 考えられるすべての x 」において 関数f(x) が『 微分可能 』であるとします。そして、「 考えられるすべての y 」において、関数 g(y) が『 微分可能 』であるとします。このとき、「 合成関数 (g・f)(x) = g(f(x)) 」の『 微分係数 (g・f)'(x) 』の表記のしかたについて、私は考察しました。
  よろしかったら、おつきあいください。

● 合成関数 (g・f)(x) の『 微分係数 (g・f)'(x) 』は、教科書などで、次のように導かれます。

  (g・f)'(x) = g'(f(x))・f'(x)   …(12)

  この (12)式 および ANo.#3 (1)式 より、合成関数 (g・f)(x) の『 微分 d(g・f)(x, h) 』は次のように表わされます。

  d(g・f)(x, h) = g'(f(x))・f'(x)・h   …(13)

  (13)式 における h を、ANo.#3 (5)式 に従って、dx(h) と表わして、(13)式 の両辺を dx(h) で割ります。

  d(g・f)(x, h)/dx(h) = g'(f(x))・f'(x)   …(14)

● y = f(x), z = g(y) として、教科書などでは、(14)式 の 左辺 d(g・f)(x, h)/dx(h) を dz/dx と記しています。
  また、教科書などでは、y = f(x), z = g(y) として、

  (dy/dx)・(dz/dy) = dz/dx   …(15)

という約分をにおわせる表記が見られます。この (15)式 を私個人は次のように解釈しました。

  dy/dx = df(x, h)/dx(h)
     = (f'(x)・h)/h

  dz/dy = dg(f(x), df(x, h))/df(x, h)
     = d(g・f)(x, h)/df(x, h)
     = (g'(f(x))・f'(x)・h)/(f'(x)・h)

  dz/dx = d(g・f)(x, h)/dx(h)
     = (g'(f(x))・f'(x)・h)/h

  上記のように解釈すれば、約分が実際に行なうことができます。

● まちがっていたら、ごめんなさい。
    • good
    • 3

● 私は ANo.#3 で回答した者です。


  微積分の話題から、ひとたび離れますことを、お許しください。

● 集合A から 集合B への 写像S があったとします。そして、p, q が 集合A の任意の要素であるとします。もし

  p = q ならば S(p) = S(q)   …(8)

となります。

● 集合A が「 2変数関数 全体から成る集合のある部分集合 」であるとします。集合B が「『 1変数関数 の集合 』の集合 」であるとします。
  今、集合A から 集合B への 写像S があるとします。p が 集合A の任意の要素であるとします。写像S による p の像を S(p) と表記するのではなく、これから Sp と表記するものとします。

● df(x, h) が 集合A の任意の要素であるとします。そして、写像S が次のように定義されるものとします。

  Sdf(x, h) = f(x)+C      …(9)

  ANo.#3 の (6)式 に着目します。

  df(x, h) = f'(x)・dx(h)    …(6)

  この (6)式 の両辺に上記の 写像S を作用させます。(8) より、

  Sdf(x, h) = Sf'(x)・dx(h)   …(10)

  (9) (10) より、

  Sf'(x)・dx(h) = f(x)+C     …(11)

● S を ∫ と表記しなおしてみてください。上記のように理解すれば、

  df/dx = f'
  df = f'・dx
  ∫df = ∫f'dx
  ∫df = ∫f'dx = f+C

などの式の変形が理解できるのではないでしょうか。

● まちがっていたら、ごめんなさい。
    • good
    • 2

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=236331
はいかがでしょうか?

外微分形式をキーワードに検索してみてもよいかもしれません。
※積分が微分の逆だと考えればどちらか一つの意味が明確になれば、もう一方もそれに合わせて考えればよいと思います。
    • good
    • 0

追伸。

Δxは、dxと同じくdifference xです。もともとは微小変化における元との差をdx、一般(微小とは限らない)の変化での元との差をΔxとしたわけで、元はほぼ同じです。
これは∫f(x)dxも同様なので、元はΣf(x)dxなのですが、「無限の和」なので区別しているだけです。もとはいずれもsum(summma)です。
つまりもともと同じ概念から出ているのですが、無限小という観念の発達の中で数学の中では区別されるようになったので別の記号を作った。そのときラテン文字dやsのかわりにギリシア文字で同等のものをつかっただけのこと。

なおdx単独で使うのに編微分・全微分のところで使うxの全微分dxというのもありますが、ここで疑問に思ってらっしゃるのとは別の話なのでとりあえず横においときましょう。
    • good
    • 1

●「 関数 f(x) がある範囲で『 微分可能 』である 」とは、「 関数 f(x) がある範囲の任意の 点c において f'(c) という『 微分係数 』を持つ 」ということですよね。



●『 微分可能 』『 微分係数 』という言葉が登場しました。このほかに、『 微分 』という言葉が次のように定義されるのだそうです。

  df(x, h) = f'(x)・h      …(1)

  上記の 2変数関数 df(x, h) が 関数 f(x) の『 微分 』なのだそうです。d と f とは分離することがなく、df が 1つ の記号であるかのように、これから取り扱います。

● ところで、g(x) = x という関数についてこれから記述します。
  関数 g(x) はすべての実数値において『 微分可能 』です。関数 g(x) の『 微分 』は次のようになります。

  dg(x, h) = g'(x)・h      …(2)

  なお、g'(x) は x がどんな値であっても、1 ですから、(2)式 は次のように表わされます。

  dg(x, h) = h         …(3)

  この (3)式より、 関数 dg は 第 1 変数 x に依存しませんから、次のように表わされます。

  dg(h) = h           …(4)

  (4)式 の g を x と表記を改めます (※) と、

  dx(h) = h           …(5)

● (5)式 を (1)式 に代入します。

  df(x, h) = f'(x)・dx(h)    …(6)
  df(x, h)/dx(h) = f'(x)    …(7)

  (7)式 をごらんになったところで、koun さん がかかえる疑問は解消されますでしょうか。
  (※) の部分がわかりにくいところかもしれません。なぜ、表記を改めることができるのかについて、私はくわしく知りません。もしかしたら「 g(x) = x の左辺は、g(x) と表記したところで、x 以外の何者でもない 」からかもしれません。

● 重要なところは、「 df は 2つ の 変数 x, h の関数であること 」「 dx は 変数 h の関数で、dx(h) = h であること 」ではないでしょうか。

● まちがっていたら、ごめんなさい。
    • good
    • 1

dはdifferencial(微分)のdですが、もともとの語源はdifference(差)であると思います。



もともとニュートンやライプニッツによって考え出されたときは、微分は微小変化を表すものとされていました。xがわずかな変化をしたとき、それにともなってyもわずかな変化をする。当時考えられていたところではこの微小変化がdxなどで、これに対してdyは、
dy=Σa(k)*(dx)^k
という形の級数になるとされていました。ただしdxが小さな数のとき(dx)^2や(dx)^3などははるかに小さいので無視すると、a(1)さえわかればいいわけです。これがつまりdx/dyなんで、本来dxもdyもそういうものでした。そして、dy/dxもれっきとした商でした。(微分商といわれていました)

ところが結局この考え方に収まりきらない関数がいくつも発見され、また物理などのように実際の数値を扱う場合は誤差の範囲であっていれば問題はないのですが、数学では論理的に矛盾の無い考え方が重要で、その点でこの説明では雑に過ぎるわけでした。

こうして19世紀に一応論理的に矛盾の無い体系が作られますが、さらに20世紀には数の概念を拡張して、dxだけ、というものもちゃんとした意味を持つことが保障されました。(超準解析)

そういうわけでこのことを踏まえてのことならば数学的にも問題はありません。

もっとも高校程度の関数についてはニュートンおよびライプニッツ時代の「荒っぽい」説明でも特に問題はなく、理科の内容ではそのような表記を多用しています。
数学の場合もほんとは少々問題ありなのですが、問題が鮮明になるのは大学数学を学んでからなので、とりあえず「そういう扱いをしても問題がおきない範囲の関数を学んでいるので、この範囲ではこういうやりかたも有効」と観じておくのがよいでしょう。
    • good
    • 1

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q微分のdx/dtというような表記の仕方がいまいち良くわかりません

記号の意味そのものは良くわかるのですが…
そのdx/dtに掛けたり割ったりする感覚が良くわかりません。
dy/dt×dt/dx=dy/dxのような?感じです
また、高次導関数をd^ny/dx^nと表記する仕組みも良くわかりません。
なぜ分数で言う分子の位置ではdに指数がついているのに分母の位置にではxに指数が付いているのか…まったくの謎です。
数学が苦手なので基礎的な部分から教えてください

Aベストアンサー

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+1)-y(a))/(a+1 - a)
 = ((a+1)^2 - a^2)/(a+1 - a)
 = 2a + 1


では、xの変化をさらに1つ減らした場合を考えます。
それは、xをaからaに変化させるということです。
aがいかなる値であっても、y=x^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、x=a における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
(y(a)-y(a))/(a-a) = 0/0 (=不定)
という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。

そこで、非常に小さい変化量を、dをつけた記号で表すことを考えます。

xの変化は、 a → a+dx
yの変化は、 y(a) → y(a+dx)

xの変化量は、dx ( = a+dx - a)
yの変化量は、dy = y(a+dx) - y(a)
です。


x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 =(y(a+dx)-y(a))/(a+dx - a)
 = ((a+dx)^2 - a^2)/(a+dx - a)
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
とすることができます。

分子に(dx)^2 がありますが、
dx自体が非常に小さい量ですので、(dx)^2 は、全く無視してよい量となります。
よって、
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
 = 2adx/dx
 = 2a
となります。

これで、x=a のときの dy/dx は、 2a と表せることがわかりました。

ということは、いかなるxの値についても、
dy/dx = 2x
であるということです。

以上のことで、
・x^2 を微分したら 2x になること
・dy/dx は、xの変化に対するyの変化の割合
の意味がおわかりになったと思います。


そして、
たとえば、y、t、x の3変数があって、
ある地点において、
tの変化量のxの変化量に対する割合が4で、
yの変化量のtの変化量に対する割合が3だとしましょう。
すると、xが1変化するのに対してyは12変化します。
dt/dx = 4
dy/dt = 3
dy/dx = 12 = 3 × 4 = dy/dt・dt/dx


なお、
高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。
素直に書けば、
1回微分は、dy/dx
2回微分は、d(dy/dx)/dx
3回微分は、d(d(dy/dx)/dx)/dx
ということになりますが、これでは見にくいので。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変...続きを読む

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Q積分計算のdtとdxの違いがわかりません。

積分計算のdtとdxの違いがわかりません。
おはようございます。今日もよろしくお願いします。

積分の式を立てて、よく書き忘れてしまい、
前の問題の分も今、dtを書き足していたのですが、
問題集の解答を見てみると、dxになってました。
もしかして、自分がずっと間違えて覚えていたのでしょうか?
それとも、どっちでもいいのでしょうか?
何か決まりがあってdxや、dtに変わるのでしょうか?
教えてください

Aベストアンサー

まぁ、他回答にもありますが、

dtはtについて積分しろ!

dxはxについて積分しろ!

って事だけです。問題を解くときに、何について積分するのか考えて解きましょう。
決まりです。決めてあるだけです。嫌なら、解答の冒頭で「dtを”積分するのはtについてです”と表記する。」としても、本当は正解のはずです。
頭の悪い教師なら×にしますが。

でも、dtの方が楽ですよね。だから、dtという表記が普及したんのです。世界各地で、積分については色んな表記があったと記憶しています。当然日本でも微積分は発明されました。日本では当然、日本語表記です。

でも∫とd(多分definiteの略)だけで、表すのが一番シンプルで分かりやすいからこれが普及したんじゃないですかね。∫の上と下に積分範囲を書くという直感的に分かりやすい記法ですし。

ほんとは、数学なんて解ければいいんですよ。でも、今使われている数学の表記は長年の歴史で洗練されているから使いやすいのはお墨付きって事です。後、自己流の表記を導入すると論文書くときにいちいちその表記の定義を説明しなくちゃならなくて、読む方も読みづらいと思う。下手するとそこで落とされるんじゃんじゃないですかね。数学の論文は書いたことないから分からないけど。

これからも、色んな疑問を投げかけて数学を好きになってください。

まぁ、他回答にもありますが、

dtはtについて積分しろ!

dxはxについて積分しろ!

って事だけです。問題を解くときに、何について積分するのか考えて解きましょう。
決まりです。決めてあるだけです。嫌なら、解答の冒頭で「dtを”積分するのはtについてです”と表記する。」としても、本当は正解のはずです。
頭の悪い教師なら×にしますが。

でも、dtの方が楽ですよね。だから、dtという表記が普及したんのです。世界各地で、積分については色んな表記があったと記憶しています。当然日本でも微積分は発明され...続きを読む

Q微分記号“d”について

こんにちは^^
微分記号“d”について質問です!

例えば、置換積分などをする際に
3x-2=t ・・・(1)
とするとします。

両辺を微分すると
3dx=dt ・・・(2)
となるのはわかるのですが、この時についているdxはなんなのでしょうか?
3は微分してできたものですよという印ですか?
高校のときになるものはなるで覚えてしまっていたのでちょっと理屈がわからなくて・・・

(1)式と(2)式の間は
d(3x-2)=dt
が入っていると考えてよろしいのでしょうか?
またdy/dxなどと表記するときとの違いも教えてください!

Aベストアンサー

物理の方では、dは微小量をあらわすと思えばいいと思います。

3dx=dt

は、微小な変化 dx に対応する t の変化量が dt ということになりますね。

3x-2=t ・・・(1)

つまり、xが変化しても-2の部分は変わりませんから、tの変化量に影響ありません。
xの3倍(から2を引いたもの)がtなのですから、微小変化 dx に対して、tの変化量 dt はdx の3倍になります。だから、

3dx=dt ・・・(2)

それで、(1)式と(2)式の間に文章で書いた部分をまとめると、

d(3x-2)=dt

ということにはなると思います。
微分しているのか、といえば、そのとおりです。dxに対応するtの変化量が必要なのですから、微分しています。
ただ、微分というのは

dt/dx = 3

と書くのが本当です。dt/dxは、ひとまとまりなんですよね。
分数みたいに見えるから、

dt=3dx ⇒ ∫dt=∫3dx ⇒ t=3x+C

みたいに計算するのです。
数学的にはかなり怪しい操作だと聞いたことがありますが、物理屋さんはよくやりますね。

物理の方では、dは微小量をあらわすと思えばいいと思います。

3dx=dt

は、微小な変化 dx に対応する t の変化量が dt ということになりますね。

3x-2=t ・・・(1)

つまり、xが変化しても-2の部分は変わりませんから、tの変化量に影響ありません。
xの3倍(から2を引いたもの)がtなのですから、微小変化 dx に対して、tの変化量 dt はdx の3倍になります。だから、

3dx=dt ・・・(2)

それで、(1)式と(2)式の間に文章で書いた部分をまとめると、

d(3x-2)=dt

ということには...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q導関数の記号 dy/dx の意味は?

高校の先生から、微分(導関数)の記号:dy/dx は、1つの記号であって、
分数のように分母・分子に切り離してはいけないと教わりました。
しかし、逆関数での微分では、dy/dx を 1/(dx/dy)にしたり、積分するとき
の記号では、最後に dx をつけ、あたかも分母だけをつけた形にしています。

初めの dy/dx は、「dy は分子、dx は分母」と素直に考えたほうが
いいのではないでしょうか?

Aベストアンサー

>私は、このことは重要なことだと思います。
がえらく心に響いたので、蛇足というかナメクジに足のような回答です。

数学では同じ働きをするものは同じとみなします。
5個のりんごと5個のみかんでは数という意味で同じとみてしまえ!
というぐあいにです。
ですから、kbannaiさんが同じと思うのであれば同じと一度置いてみればいいのではないでしょうか?
それで分数の計算の性質をすべて満たすならば、
それは分数と同じように扱ってもまったくかまわないわけです。

というわけで
df/dx ± dg/dx = (df±dg)/dx
(df±dg)はどうしましょうか?
普通に考えると(df±dg)=d(f±g)としたいですよね。意味は
微分の加減算は加減算の微分といったところでしょうか?
実際これは正しい結果を与えます。
では分母が違う場合は?
df/dx ± dg/dy = (dfdy±dgdx)/(dxdy)
うーんこれはちょっとまずそうですね。
掛け算はどうでしょうか?
df/dx ・ dg/dx = (df・dg)/(dx・dx)
これもちょっと(左辺は数の掛け算ですが右辺は
なにやら極限操作のようなことをやっていますが意味が不明です)。
でも、
df/dy・ dy/dx =df/dx
ならOKです(通分できるならただしいようだ)。

という具合に一概に”本当の分数”とおいてはだめなことがわかります。
でも、いくつかの性質は本当の数のように見えますよね。
その性質はなにか? df +dg=d(f+g) だったり、df/dy・ dy/dx =df/dx
だったりです。df +dg=d(f+g) は、dxに関係なく(つまり下がdyだろうがdzだろうが
、しかも、xがどこの値のときでもお構いなしに成り立つ性質なので)
df、dgだけ数と見なせば都合が良いように見えます(ついでに定数を掛けても大丈夫です)。
一方、df/dy・ dy/dx =df/dxは変数をxからyに変換するような操作が割り算
(普通の数のようにできる)ことを示しています。
そこで、上のdf、dgと形を合わせてdf=(df/dx)dxやdf=(df/dg)dgという具合に表記すれば
df、dgを加減算のなかで数とあつかって、必要とあれば、ほかの変数にうつりあえるという、
えらく便利な「数」ができるわけです。
あとは、siegmundさんがおっしゃっているような、積分での変換の関係をうまく満たすように工夫
(ってちょっと面倒ですが)すれば、微積分に便利な「数」ができます。

という具合に、思ったことは試してみればよいのではないでしょうか?
自然科学や数学のよいとろこは、本人がどう思ったとしても、
それが間違いであればおのずとその間違いを正してくれることだと思います。
ですから、どんどん「思う」ことが大切なのではないでしょうか?
そして、思って試せば、その先が見えてくるのだと思います。
>私は、このことは重要なことだと思います。
というところに感銘したのはこういう理由です。

とまあ、恥ずかしげもなく書きたいこと書いていますが許してください。

>私は、このことは重要なことだと思います。
がえらく心に響いたので、蛇足というかナメクジに足のような回答です。

数学では同じ働きをするものは同じとみなします。
5個のりんごと5個のみかんでは数という意味で同じとみてしまえ!
というぐあいにです。
ですから、kbannaiさんが同じと思うのであれば同じと一度置いてみればいいのではないでしょうか?
それで分数の計算の性質をすべて満たすならば、
それは分数と同じように扱ってもまったくかまわないわけです。

というわけで
df/dx ± dg/dx...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qデルタの意味

数学や物理で使うΔ(デルタ)には、どういう意味があるのですか?教えて下さい。

Aベストアンサー

いろいろあります。
1)Δxとかの場合。増分。文字通りxの増加分。差分ともいうが、微妙に使い方が違う場合あり。これはもともと英語のdifferenceに由来し、ギリシア文字のdに相当するΔで表現したもの。

2)ラプラスの演算子。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
なぜこの記号なのかは不明。

3)Δ粒子
いわゆる「素」粒子(現在は単に粒子という)や放射線などに名前を付けていく際に、ギリシア文字を使った関係でこの粒子はΔと呼ばれた。意味は特にないと思う。

4)その他。下の参考URLによると、エネルギーギャップ、平衡からのずれ、などがある。

参考URL:http://ha2.seikyou.ne.jp/home/Kiyoshi.Shiraishi/lec/kigouhyou.html

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング