微積分のｄｘってなに？

学校で今微積分を習っているのですが、たびたび出てくるｄｘだのｄｔだのというこの記号の意味が分かりません。
数IIの時は∫などと同じようにただ微積分するんだよという意味で書いてあるかと思ったのですが、IIIになってから結構普通に掛け算やら割り算やらしているので、実は数字と同じような扱いもできるということがわかったのですが、そうしたらなんなのかよくわからなくなってしまいました。教科書にも書いてありませんでしたので、こういう場合いろいろ難しいことが多くあえて省略しているのだということはeのときでも分かっていますができれば教えてください。

No.7 回答者： Ishiwara 回答日時： 2006/05/20 23:53

例えば、xは「これまで働いてきた時間」ｙは「これまでに得た収入」とします。

この人が1秒働いて2円の給料をもらったとき、dx=1秒、dy=2円のように書きます。
しかし、1０年働いて５千万円もらったときは、Δx=1０年、Δy=５千万円のように書いて d と区別します。
dを使う意味は、この「秒給」は今後一定である保証がない（時々刻々変わるかもしれない）ということです。今後「秒給」が変わらないのであれば、Δでもdでもよく、微分という解析法を使う必要もない、ということになります。

No.6 回答者： mangou-kutta 回答日時： 2006/05/19 15:00

おそらく質問者は、

dy/dxの定義や

区分求積法の

∫[x=0,x=1]f(x)dｘ
＝lim (n→∞)Σ[k=1,k=n]f(xk)・(1/n)

において∫とΣ、f(x)とf(xk)、dｘと(1/n)
が対応していることを十分に把握しているのだと思います。

その上で、微分方程式
∫f(x)(dｘ/dt)dt＝∫g(y)(dy/dt)dt
などの解法で
あたかもdtを約分したように機械的に
∫f(x)dｘ＝∫g(y)dy
と変形をして解いていることに対する抵抗感などがあるのだろうと思います。

この場合、合成関数の微分
dy/dt＝dy/dx・dx/dt
を確認し
これを使っているのだという根拠もしっかり確認しておくほうが良いと思います。
それさえ一度確認すれば
後は機械的に使っても抵抗はないでしょう。
確認なしに「そういう風にできる」といって使うのはＮＧ

逆に言うとdy/dxの表記は、演算のやりやすさを見越した上で考えたものといえます。

No.5 回答者： take008 回答日時： 2006/05/19 13:32

高校数学の範囲では ｄｘ や ｄｔ が単独で現れることはありません。

ｄｙ/ｄｘ ｙをｘで微分したもの
ｄｙ/ｄｔ ｙをｔで微分したもの
を意味します。
ｙ' と書くと何で微分したものかわからないことがありますが，このように書けば問題ありません。
∫□ｄｘ ｘで積分したもの
∫□ｄｔ ｔで積分したもの
ですね。

> 結構普通に掛け算やら割り算やらしている

合成関数の微分，逆関数の微分，置換積分
ｄｙ/ｄｘ＝ｄｙ/ｄｔ ｄｔ/ｄｘ
ｄｙ/ｄｘ＝１／ｄｘ/ｄｔ
∫□ｄｘ＝∫□ｄｘ/ｄｔ ｄｔ
のことですね。
これは，分数の計算をしているわけではありません。
まるで分数の計算のように見える
にすぎません。
言い換えると，まるで分数のように扱える，この記法を考えた人が偉かったということです。

No.4 回答者： freedom560 回答日時： 2006/05/19 10:15

高校までの範囲で微積分を行うのなら、微分はNo.3さんが書いてある通り

limΔｙ／Δｘ = dy/dx

で、考えるのが一番わかりやすいと思います。これで
dy/dx=～
という微分の式は、中学の一次関数で習った「グラフの傾き＝変化の割合＝ｙの変化量／ｘの変化量」という式と形が同じなので、x=kという点で見たときに、グラフで接線になることが直感的にわかるのではないでしょうか。


で、積分記号の∫は数列で習ったΣと同じような感覚で考えるのがわかりやすいと思います。つまり、
∫(x→0～x→1)x dx は

(1)xにdxをかける（単なる掛け算です）
(2)x dxで微少面積（dxはほぼ０なので面積と言ってもほとんど線なのですが）が求まるので、それをx→0～x→1の区間において足し合わせる

と考えるとわかりやすいと思います。

No.3 回答者： Trick--o-- 回答日時： 2006/05/19 09:04

ｙの変化量／ｘの変化量　＝

Δｙ／Δｘ
このとき、変化量を十分小さくすることで、微分値になる
limΔｙ／Δｘ = dy/dx

こんなかんじだったかと。
日本語で言うと……微小な変化量？

No.2 回答者： pyon1956 回答日時： 2006/05/19 08:53

高校数学までのdxというのはあまり深い意味を持たせてありません。

というのもこのあたり厳密になったのは19～20世紀の数学によって、ということなのですが、高校数学までの範囲は集合やベクトル・行列などを除けば18世紀やそれ以前の数学です。
19世紀になって初めてコーシーが微分を厳密に定義し、さらにワイエルシュトラスによってεーδ論法が完成します。その後微分方程式や多変数での全微分などにおいて独立したdxなどの用法も厳密化されますが、20世紀初めにルベーグが測度（measure）を定義して、積分におけるdxというものの正確な意味も厳密化されます。
さらにその後ロビンソンが超準解析を創始し、あらためてライプニッツ以来の無限小も復活します。（厳密に）
で、実はこれら各分野でdxの扱いも微妙に違います。
現代では基本はルベーグ積分・ルベーグ測度で考えるのが普通ですが。
また物理の場合、dxというのはずばりxの微少変化なので、厳密さは失われてます。ここを厳密にすると超準解析になると思います。
このあたり厳密に学びたいのであれば「ルベーグ積分」「測度」「超準解析」「実解析」などをちゃんと学ぶ必要がありますがいずれも大学の数学です。とりあえず
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7997/
http://www.f-denshi.com/index.html
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/ca …
http://www.amazon.co.jp/gp/richpub/listmania/ful …
辺りを参考に。

No.1 回答者： miniture_min 回答日時： 2006/05/19 03:51

多分とても小さな間隔や面積の事を意味しているのだと思います。

例えば∫dxと書いてあると、とても小さなdxという間隔で積分する事を意味し、∫dSと書いてあると、とても小さなdSという面積で積分する事を意味しています。

つまり、数学IIIまでならΔxみたいな物だと思えば大体はあってるはずです。