数学の問題でモヤモヤしてます

x > 1のとり得る値の範囲を求めよ.

y = x - 1/x

という問題なのですが、グラフを考えればy>0なのはわかるのですが、逆像法で
xに関しての2次式にして実数解であることを利用して解こうとすると判別式で虚数になってしまってうまく解けません
どうしてでしょうか理由がわからなくてモヤモヤします
あと、逆像法などで他の方法があったら教えていただきたいです

No.3 ベストアンサー 回答者： 銀鱗 回答日時： 2023/08/16 00:23

その数式が何を示しているのかを正しく理解していないことから来る

　「数式を弄り回すだけの行為」　
になっちゃってますね。

ぶっちゃけ、
　(1/x)
が「ｘが0も近い値を持つときにしか影響を与えない」という事に気づけば、
それなりに処理できるような気がするんだ。

要は、
　y=x-(1/x)
　　↓
　y=x+(-1/x)
ってこと。

たぶん質問者さんなら、これだけのヒントで自己解決できるんじゃないかな。

この回答へのお礼

一気にわかりました　ありがとうございます

お礼日時：2023/08/16 05:33

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2023/08/17 11:56

任意の実数ｙにたいして、y = x - 1/xとなるｘは

二次方程式
ｘ^2-ｙｘ-1＝0の解として
ｘ＝[y±√(y^２＋4)]/2と決まる。
ここでｙ＝0ならばｘ＝±1だからｘ＞1をみたさない。
ｙ＜0ならば
y＋√(y^２＋4)＝√(y^２＋4)-|y|はプラスだけども
（√(y^２＋4)-|y|)(√(y^２＋4)＋|y|)＝4で
√(y^２＋4)＋|y|＞2だから
y＋√(y^２＋4)＜2がなりたつ
したがってｘ＝[y＋√(y^２＋4)]/2はｘ＞1をみたさない。
ｘのもう一方の解は＜0だからこれもｘ＞1をみたさない。
したがってｙ＞0が必要条件になる。
逆にｙ＞0ならばｘ＝[y＋√(y^２＋4)]/2がｘ＞1をみたす。
したがって求める条件はｙ＞0
となります。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/17 04:14

「逆像法」が何のことかは知らないが（お受験用語？）

> xに関しての2次式にして実数解であることを利用して

実数解が得られるのは当然だからそんなもん利用価値がない。そうじゃなくて愚直に、2次方程式をxについて解いた上で、「x > 1」という条件を課すと、不等式を解いてyの範囲が決まります。だから、何の不思議もない話です。

No.5 回答者： cage64 回答日時： 2023/08/16 09:01

逆像法でやるなら

x-1/x=k
とおいて、
f(x)=x^2-kx-1
がx>1 において少なくとも１つ解をもつkの条件を求めること。

(x^2-kx-1=0の判別式D=k^2+4>0 であり虚数解は出てこないから、どこかに間違いがある）

f(x)は最高次の係数が正でf(0)=-1<0 だから、f(x)=0は正と負の２つの解をもつ。
x>1となる解は正の解だからf(1)<0 であることが求める条件。

f(1)=-k<0 より k>0...(答)

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/16 05:55

x>1

↓両辺を2乗すると
x^2>1
↓両辺をx>0で割ると
x>1/x
↓両辺から1/xを引くと
x-1/x>0
↓y=x-1/xだから
y=x-1/x>0
∴
y>0
--------------
y>0
とすると
y^2>0
y^2/4>0
1+y^2/4>1
√(1+y^2/4)>1
y/2+√(1+y^2/4)>1

x=y/2+√(1+y^2/4)とすると x>1

x-y/2=√(1+y^2/4)
(x-y/2)^2=1+y^2/4
x^2-xy+y^2/4=1+y^2/4
x^2-xy=1
x^2-1=xy
↓両辺をx>1で割ると
∴
x-1/x=y
-------------------
∴
y>0

No.2 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/08/15 23:11

レベルがわからないのですが、高校数学Ⅲをご存知ならば、xについて、1と∞の各々の極限をとれば、自ずとy>0かつy=xに近似できることが証明でき、yの取り得る値を証明したことになります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/08/15 22:52

「逆像法で」うんぬんのところ, 具体的にはどうやったのか見せてほしい.