2進数のオーバフローについて

2進数8bitの計算で01111111(2)+00000001(2)の答えが符号なしで考えると128(10)となり符号付きで考えると-128になりオーバフローとなってしまうのが理解できません。当方は学制で学んだばかりなので分かりやすく教えていただけるとありがたいです

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/13 19:40

2進数そのものは、オーバフローしません。

２進数を、固定幅のレジスタに格納するとき、オーバーフローが起こるのです。
入れようとする中身の幅が
容器の幅より大きければ、ハミ出す...というだけです。

01111111(2)+00000001(2) の答えは 10000000(2) であり、
8桁の 2進数です。
符号なし 8bit なら、8bit あるから収まるし、
符号付き 8bit なら、1bit は符号ビットで仮数部は 7bitしかないので
収まりません。

No.5 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/05/12 22:08

単純に考えて、３ビットだとします。

０　０００
１　００１
２　０１０
３　０１１
４　１００
５　１０１
６　１１０
７　１１１

と、表せますね。一方で、先頭のビットで正負を表すときは、０の場合は正、１の場合は負と扱います。

　０　０００
　１　００１
　２　０１０
　３　０１１
　-4　１００
　-3 １０１
　-2　１１０
　-1　１１１

と割り当てます。なぜかと言えば、それが便利だからです。

例えば、

２－２　＝　０　

ですが、足し算では

２　＋　（－２）　＝０

となります。これを２進数でやってみると、先程のマイナスの表現を利用すると、

０１０　＋　１１０　＝　１０００

で。オーバーフローした先頭を無視すれば０になり、１０進数の結果と一致します。つまり、マイナスをそうやって表現すると、２進数の足し算だけで引き算を表現できるのです。

これを一般化すると、符号付きの２進数の全桁をひっくり返して１を足すと、もとの数字のマイナスの２進数になります。

例えば、８ビット符号付きとすれば、

01111101（２進数）　＞＞＞　125 （１０進数）ですね。

2進数の全桁を、１＞０、０＞１にひっくり返します。

10000010

そして、１を足します。

10000011 　＞＞＞　-125

となります。

01111101　[phone] 　＝(1)00000000

確かにマイナスになっていますね。

No.4 回答者： hdkzok 回答日時： 2022/05/12 22:07

2進数の1ビットめが、1 は 10進数では、1。

2ビットめが、1 は 10進数では2、
３ -> 4、
4 -> 8、
5 -> 16、
6 -> 32、
7 -> 64、
1ビットから7ビットめが全部 1 なら、１０進数では、１２７ で最大。1 すらも加算できない。１２８にはなれない。
だから、無理やりやったらオーバーフロー。
だって、もう1ビットは符号のプラス・マイナスの表示に使うから、数値には７ビットしか使えないもん。
ちなみに１ビットめだけが奇数の１。
あとは、2、4、8、16、32、64 で、全部偶数。
だから全部のビットが１なら、1ビットめも１なので、合計は奇数。１２７。

No.3 回答者： yucco_chan 回答日時： 2022/05/12 21:48

MSBが符号ビットになっていて、

0 は正の数、1 は負の数 と定義しているからです。
そして、10000000が-128になる理由ですが、
10進数で -128＋1＝-127になります。
2進数では 10000000＋00000001=10000001
10000000を-128と定義すると、計算がスムーズに出来るのです。
別の考え方では、正の数は1を数える、負の数は0を数える。

No.2 回答者： sumbody 回答日時： 2022/05/12 21:39

＞のが理解できません

理解も何も。そういうルールなだけです。
７bit＋符号１bitだと表現できる範囲は -128～+127。
符号なし8bitだと ０～255。
「オーバーフロー」とは、表現可能範囲を超え、正しくなくなってしまった
状態を指します。
＞-128になり
正しくなくなっちゃったでしょ。

符号なし８bit だって 11111111+00000001→00000000
だけど9bit目の桁上りを表現できておらず、オーバーフロー状態です。

No.1 回答者： 平凡太朗 回答日時： 2022/05/12 21:37

若干、理解にズレがあるようにも感じるが・・・

まず
01111111(2)+00000001(2) = 11111111(2) ＝ 255(10)

「符号付き」が「Sign Bit」の使用という理解で正しいのであれば
1．「Sign Bit」は先頭ビットを「プラス/マイナス」の表示に使用するので、数字を表すために使える桁数が１減る。
2．これによると「11111111(2)」の先頭の「1」は「マイナス」を表示することになり、残りの7桁で表せる最大の数は「128(10)」となる。
3．つまり「11111111(2)」は「-128(10)」となる。