数学III 放物線 放物線4x=3y^2と楕円x^2+4y^2=4の共通接線の方程式を微分を使って求

数学III 放物線



放物線4x=3y^2と楕円x^2+4y^2=4の共通接線の方程式を微分を使って求めてください。お願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2019/01/30 15:00

かなり式が複雑なので概略だけ、

4x=3y²　の両辺微分すると4＝6ｙｙ’、ただしｙ’＝ｄｙ/ｄｘ
つまり(ｘ₀、ｙ₀)をこの放物線の点とすればこの点における
接線の傾きはｙ’＝2/(3y₀)になる。したがってこの接線の方程式は
ｙ－ｙ₀＝2/(3y₀)(ｘ－ｘ₀)
いまこの接線がだ円
x²+4y²=4　の接線にもなっているとれば
上の接線の方程式をｘについてといてだ円の式に入れて
でてくるｙの2次方程式が重解を持たなければならないので
その判別式＝0　とおくとｘ₀²－3ｘ₀－4＝0がでてくるので
ｘ₀＝4がでる。これからｙ₀＝±4/√3がでて
このｘ₀、ｙ₀を上の接線の式に入れればよい。

判別式を出すときは適宜4ｘ₀＝3y₀²の関係でｙ₀をｘ₀で置き換えること。