方程式y=x^3-3xによって表されるxy平面上の曲線をCとし、C上に定点A(a,a^3-3a)(a

方程式y=x^3-3xによって表されるxy平面上の曲線をCとし、C上に定点A(a,a^3-3a)(a>0)をとる。
(1)AにおけるCの接線lとCの共有点のうち、Aと異なる点の座標を求めよ。
(2)(1)で求めた共有点をBとする。線分AB(両端を含む)上の点Pで、Pを通るCの接線がlのみであるようなものの存在範囲を求めよ。

解き方と答えを教えてください。お願いします。

No.1 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2018/11/03 18:47

ヒントとして(１)は

接線lの方程式

y＝(3a^2－3)x－2a^3

x^3－3x＝(3a^2－3)x－2a^3を解くとx＝a、－2a。

Ｂ(－2a、－8a^3＋6a)

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/11/03 23:15

方程式y=x^3－3xによって表されるxy平面上の曲線をCとし、C上に定点A(a,a^3－3a)(a>0)をとる。

(1)AにおけるCの接線lとCの共有点のうち、Aと異なる点の座標を求めよ。
(2)(1)で求めた共有点をBとする。線分AB(両端を含む)上の点Pで、Pを通るCの接線がlのみであるようなものの存在範囲を求めよ。

(1)
接線lの方程式は
y＝(3a^2－3)(x－a)+a^3－3a=(3a^2－3)x－(3a^2－3)a+a^3－3a
=(3a^2－3)x－2a^2
Cとlの交点は、x^3－3x＝(3a^2－3)x－2a^3を解くとx＝a、－2a。
接線lとCの共有点でAと異なる点は、Ｂ(－2a、－8a^3＋6a)である。
(2)
a>0の範囲で接線をいくつか引いてみると、例えば図示のA点に接線を引いてlとすると、
接線lとCの共有点は図のABとなり、AB上の点Pを図示のように選ぶと、Pを通るCの接線
は、ｌ以外に原点を通るものがある。黄色く色づけした部分では、Pを通るCの接線が2本ある。黄色く色づけした部分を除外すると。
求める範囲は、x≧0ではa=0の接線より下で、y<－3x
x<0では曲線Cより下で、y< x^3－3xとなる。