分数不等式 (-x＋2)/(x＋2)≧0 回答では「マイナス」を掛けて符号の向きを変えていたのですが

分数不等式

(-x＋2)/(x＋2)≧0

回答では「マイナス」を掛けて符号の向きを変えていたのですがなぜ変える必要があるのですか？

(-x＋2)(x＋2)で「x<2,2≦x」だとダメんなんでしょうか？

ちなみに解答は「マイナス」を掛けて「−2<x≦2」でした

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/26 19:46

(-x＋2)(x＋2)の0以上を判定するときは、正、正と負、負の

２通りを検査しないといけないが、マイナスを掛けると
　(x-2)/(x＋2)≦0
となり、
　x-2≦x+2
だから、
　x-2≦0 , x+2≧0
の１つだけ判定すればよい。と思う。

この回答へのお礼

めちゃくちゃ分かりやすいです。ありがとうございます

お礼日時：2023/02/26 21:03

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/26 20:20

(-x+2)/(x+2)≧0

(2-x)/(2+x)≧0
↓両辺に(2+x)^2>0をかけると
(2-x)(2+x)≧0
4-x^2≧0
↓両辺にx^2-4を加えると
0≧x^2-4
↓左右を入れ替えると
x^2-4≦0
(x+2)(x-2)≦0
↓x≠-2だから
∴
-2<x≦2

No.4 回答者： kantansi 回答日時： 2023/02/26 19:50

分数不等式の場合、分母が0になる場合には不等号の向きが変わります。

今回の場合、x＋2＝0となるx＝-2のとき、分母が0になるため、不等号の向きが変わります。具体的には、(-x+2)/(x+2)≧0の両辺に(x+2)を掛けると、-x+2≧0となります。この不等式をxについて解くと、x≦2となります。しかし、これだけではx＋2＝0のときの解が含まれておらず、不等号の向きを反転させる必要があります。そこで、-2<x≦2という解が得られます。

また、「(-x+2)(x+2)で「x<2,2≦x」だとダメんなんでしょうか?」という質問ですが、これは誤りです。式を(-x+2)(x+2)とすると、解はx<-2またはx≧2となります。この解は元の不等式の解と一致しておらず、誤った解となっています。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/02/26 19:47

＞(-x＋2)(x＋2)で「x<2,2≦x」だとダメんなんでしょうか？

どうやるとそうなるの？

(-x＋2)/(x＋2)≧0 ということは、

(i) -x＋2 ≧ 0 かつ x＋2 > 0

または

(ii) -x＋2 ≦ 0 かつ x＋2 < 0

ということです。
分子・分母が同符号。

(i) は 2 ≧ x かつ x > -2 なので、‐2 < x ≦ 2

(ii) は 2 ≦ x かつ x < -2 なのでそのような x は存在しない。

従って、
　‐2 < x ≦ 2


別に「マイナス」をかける必要はないけど、あなたのように「軽率な誤解」をしないようにそうしているんでしょう。

マイナスをかけて
　(x - 2)/(x + 2)≦0
にすれば、すぐに
　-2 < x ≦ 2
とわかるでしょうから。
その場合には、x≠-2 という条件で (x + 2)^2 > 0 をかけて
　(x - 2)(x + 2)≦0
とすればよいです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/26 19:46

「『≧0』という形だから」と理解せずに答えるあなたのような人間を減らすため.