記号論理学の問題について

記号論理学の問題について教えていただきたく質問しました。
カデゴリ違いだったらすいません。

(1)∃x(x+1＜x)
式が真か偽か答えよ。また限量子を変えて等値な論理式へ変形せよ。

この式は真であってますか？
限量子は∃xの部分だと思うのですが、どう変えれば等値な倫理式になるでしょうか？

(2)∃x∀yP(x,y)
式を日本語で読め。限量子を変えて等値な論理式へ変形せよ。

この問題については日本語も等値な倫理式へ変形するやり形もよくわかりません。


どなたか回答よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Caper 回答日時： 2011/07/14 09:36

● (1)

　 命題関数 P(x) を、私は次のとおりに置いてみました。

　 P(x) = (x + 1 ＜ x)

　 これで、∃x(x + 1 ＜ x) は ∃xP(x) と表記することができます。

　 そして、x + 1 ＜ x という不等式を、私は解いてみました。この不等式の両辺から x を引きます。

　 1 ＜ 0

　 不等式から x は消えました。そして「 1 は 0 より小さい 」という命題は 偽 であると私は判断しました。

　 以上の結果より、この P(x) という命題関数は定数関数であり、P(x) = 偽 であると、私は判断しました。

　 この ∃xP(x) を日本語で表現すれば、「 偽 ( と定まった命題 ) を真とするような x が存在する 」となります。そのような x は決して存在しません。ですから、私は ∃x(P(x)) は偽であると、私は判断しました。

　 もう 1つ の答えは、次のようになるのでしょうか … 。

　 ∃x(x + 1 ＜ x) ≡ ∃x(￢(x + 1 ≧ x)) ≡ ￢(∀x(x + 1 ≧ x))

● (2)

　「 適当な x を選べば、任意の y に対して P(x, y) であるようにできる 」
　「『 どの y に対しても P(x, y) である 』ということを満たす x が存在する 」
　 といった感じでしょうか … 。

　 もう 1つ の答えは、次のようになるのでしょうか … 。

　 ∃x∀yP(x, y) = ∃x(∀yP(x, y)) ≡ ∃x(∀y(￢￢P(x, y))) ≡ ∃x(￢(∃y(￢P(x, y)))) ≡ ￢(∀x(∃y(￢P(x, y)))) = ￢(∀x∃y(￢P(x, y)))

● 以上の私の記述がまちがっていましたら、ひらにごめんなさい。

No.2 回答者： Caper 回答日時： 2011/07/14 09:52

　ごめんなさい。

訂正です。ささいな訂正ですが、誤解を生むとつまらないと思いましたので。

　(1) の終わりのほうです。

( 誤 ) 私は ∃x(P(x)) は偽であると、私は判断しました。
( 正 ) 私は ∃xP(x) は偽であると、私は判断しました。