数学I

-8<x<-1の範囲で不等式x^2-ax-6a^2>0が成りたつような定数aに値の範囲を次の３つの場合に分けて考えよ
(i)a<0 (ii)a=0 (iii)a>0
x^2-ax-6a^2=(x-3a)(x+2a)
(i)a<0よりx<3a -2a<xとなるところまでは理解できるのですが
-2a>0より-1≦3aとなるところが分かりません。
他の場合分けのところも解説してほしいです。
お願いします。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/09 16:35

(i)a<0

{x|-8<x<-1}⊂{x|x<3a.or.-2a<x}
が成り立つためには
-1≦3a が成り立たなければならない
3a<-1 と仮定すると
3a<x<-1 となるxが存在する
3a<xだから
x∈{x|-8<x<-1}-{x|x<3a.or.-2a<x}
となって
{x|-8<x<-1}⊂{x|x<3a.or.-2a<x}が成り立たない
-1≦3aならば
-8<x<-1ならば
-8<x<-1≦3a
x<3aだから
{x|-8<x<-1}⊂{x|x<3a.or.-2a<x}
が成り立つ

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/09 14:10

y = x^2 - ax - 6a^2 = (x + 2a)(x -3a) のグラフを考えてみましょう。

グラフは下凸の放物線であり、放物線は x軸と交点を持ち、
y = x^2 - ax - 6a^2 > 0 が成り立つのは
x が左側の交点より小さいときと、 右側の交点より大きいときですね。

x^2 - ax - 6a^2 = 0 の解 x = -2a, 3a の
どちらが左側の解でどちらが右側の解かを区別する必要があるので、
(i)a<0 (ii)a=0 (iii)a>0 で場合分けすることになります。

(i)a<0 の場合は、 3a < -2a であることから
x^2 - ax - 6a^2 > 0 の解は (x < 3a または -2a < x) になるので、
-8 < x < -1 がこの解にすっぽり含まれていればいい。
0 < -2a より -2a < x と -8 < x < -1 には共通部分が無いから、
-8 < x < -1 が x < 3a に含まれていればよいことになります。
数直線を書いて考えましょう。 その条件は、 -1 ≦ 3a ですよね？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/09 10:57

No.1 です。

＞(i)a<0よりx<3a -2a<xとなるところまでは理解できるのですが

a<0 のとき、3a < -2a となることは理解できているみたいですね。

そもその、与不等式を満足する条件は

(A) (x-3a)、(x+2a) が両方とも正
　つまり
　　0 < x - 3a →　3a < x
　かつ
　　0 < x + 2a →　-2a < x

または

(B) (x-3a)、(x+2a) が両方とも負
　つまり
　　x - 3a < 0 →　x < 3a
　かつ
　　x + 2a < 0 →　x < -2a

ということです。

「かつ」という条件ですから、「3a と -2a の大小」によって、「常に成り立つ」のはどちらか一方になります。
これを整理すると

（1）-2a < 3a つまり a>0 のときには
（A-1) 0 < x - 3a →　3a < x
　かつ
　　0 < x + 2a →　-2a < x
　が同時に成り立つのは
　　3a < x
（B-1) x - 3a < 0 →　x < 3a
　かつ
　　x + 2a < 0 →　x < -2a
　が同時に成り立つのは
　　x < -2a

（2）3a < -2a つまり a<0 のときには
（A-2) 0 < x - 3a →　3a < x
　かつ
　　0 < x + 2a →　-2a < x
　が同時に成り立つのは
　　-2a < x
（B-2) x - 3a < 0 →　x < 3a
　かつ
　　x + 2a < 0 →　x < -2a
　が同時に成り立つのは
　　x < 3a

となります。

これと「-8 < x < -1 の範囲で」という条件との関係で、a の範囲が決まります。

つまり

a > 0 のときには
（A-1) 3a < x はこの範囲の対象外。
（B-1) x < -2a のときには、
　　-2a ≦ -8
　であれば常に条件を満たす。

a < 0 のときには
（A-2) -2a < x はこの範囲の対象外。
（B-2) x < 3a のときには、
　　-1 ≦ 3a
　であれば常に条件を満たす。

ということです。
この整理ができていますか？

おそらく「-2a>0より-1≦3aとなる」といっているのは、上の「A-2. B-2」の説明なのだと思います。
その説明が舌足らずなのかもしれませんが、「説明を表面的に読む」だけでなく、「何故そうしているのか」の根拠・理由まできちんと立入って考えることが必要です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/08 23:13

＞x^2-ax-6a^2=(x-3a)(x+2a)

これから
　x^2 - ax - 6a^2 > 0
を満たす x の範囲はどう書けますか？

(i)a<0よりx<3a -2a<xとなるところまでは理解できるのですが

3a と -2a とは、どちらが大きいですか？
a<0 のときには、どちらが大きいですか？