一般に-1≦sinＡ≦1よりオレンジで囲った部分の符号逆ではないですか

一般に-1≦sinＡ≦1よりオレンジで囲った部分の符号逆ではないですか

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/08/09 15:17

-1≦sinＡ≦1

について
Aをθ+αに、
-1を-2/√(y²+x²)に
1を(y+1)/√(y²+x²)に置き換えたものが
-2/√(y²+x²)≦sin(θ+α)≦(y+1)/√(y²+x²)
従って、-1に相当する-2/√(y²+x²)が-1より大きくなることは許されない
（例えば-1/2≦sinＡ≦1と言う状態になってしまうことは許されない）
つまり、-1<-2/√(y²+x²)はNG
無論-1＝-2/√(y²+x²)はOk
では残りの範囲の、-1>-2/√(y²+x²)についてはどうか？
画像ではθが任意で（どんな値でも）-2/√(y²+x²)≦sin(θ+α)≦(y+1)/√(y²+x²)が成り立つ条件は？という説明をしている
A=θ+αを使えば、θが任意ならAも連動して任意となるなので（Aも連動して色々な値を取るので）
Aがどんな値でも　-2/√(y²+x²)≦sinA≦(y+1)/√(y²+x²)　が成り立つ条件は？　ということと同じである
左辺:-2/√(y²+x²)≦sinAについて
ここで仮に-5≦sinA(sinAは-5以上である）はどんなAでも成り立つのか考えてみる
-1≦sinA≦1だから、sinAは-5以上であると言いかえることもできるので-5≦sinAは成り立っている
-5の部分が-1.0001に変わっても、または-10000に変わっても,やはり同様に
-1.0001≦sinA
-100000≦sinAは成り立つと言えるので
○≦sinA がどんなAでも成り立つためには○は-１以下であればよいと言える
今回は○の部分は-2/√(y²+x²)であるから、-2/√(y²+x²)は-1以下であればよいという事になる
つまり-2/√(y²+x²)≦-1　が条件となる

同じようにして、右辺sin(θ+α)≦(y+1)/√(y²+x²)がどんなθに対しても成り立つ条件は
(y+1)/√(y²+x²)≧１　と言えます

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/09 01:05

赤枠が成り立つような θ が存在するという条件なら、

-2/√(y^2+x^2) ≦ 1 かつ (y+1)/√(y^2+x^2) ≧ -1 だけど、
問題では、任意の θ について赤枠が成り立つと言っているから、
-2/√(y^2+x^2) ≦ -1 かつ (y+1)/√(y^2+x^2) ≧ 1 であっている。

No.2 回答者： 1発50円 回答日時： 2019/08/08 22:54

No1です。

αの値が決まるとはどういうことでしょうか。
そもそもαは tanα=x/yで決まる解答者自身の定めた変数です。(わからなければ、合成の原理を確認してください)従って、αは一意に定まりません。
もし仮に「-2/√(x^2+y^2)≦sin(θ+α)≦(y+1)/√(x^2+y^2)が任意のθについてなりたつための条件を求めよ、ただしαは定数」という問題があったとしても、「任意の」というのがミソで、「θにどんな値を代入しても不等式がなりたつようにしろ」ということなので、No1と同じ考えで、全く同じ不等式の処理という流れになります。

No.1 回答者： 1発50円 回答日時： 2019/08/08 22:04

答えの通りで大丈夫です。

怪しいと思ったら、具体的な数字を代入してみるとわかりやすくなります。 (A=θ＋αとします)
①任意のθとして、θ＝3π/2-αとしましょう。
-2/√(x^2+y^2)≦-1≦(y+1)/√(x^2+y^2)
②任意のθとして、θ＝π-αとしましょう。
-2/√(x^2+y^2)≦0≦(y+1)/√(x^2+y^2)
③任意のθとして、θ＝π/2-αとしましょう。
-2/√(x^2+y^2)≦1≦(y+1)/√(x^2+y^2)
…
このように考えると答えが正しいことがわかるでしょう。

直感だけでなく、厳密に捉えたいのでしたら、数直線で考えると、任意のθでなりたつ条件は図のようになります。

この回答へのお礼

αの値が決まっていれば-2/√(x^2+y^2)=〇〇
(y+1)/√(x^2+y^2)=▲▲
のように値は求まりますか？

お礼日時：2019/08/08 22:29