数学の不等式です、

不等式x^2−4x−5大なりイコール0とx^2−3ax+2a^2小なりイコール0を同時に満たす整数xが2個だけ存在するような正の整数aを求めよ
これを教えて下さい！

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/10 00:39

x^2-4x-5≧0　・・・・・①

(x+1)(x-5)≧0
x≦-1, 5≦x　・・・・・①’

x^2-3ax+2a^2≦0　・・・・・②
(x-a)(x-2a)≦0
aは正の整数だから　a<2a
よって、
a≦x≦2a　・・・・・②’

①、②を同時に満たす整数xが2個だけ存在するような正の整数aの値は、
つまり、
①’、②’を同時に満たす整数xが2個だけ存在するような正の整数aの値だから、
(i)　a<5　のとき図の（ア）のようになればよいから
2a=6
a=3

(ii)　5≦a　のとき図の（イ）のようになり
①’、②’を同時に満たす整数xが３個以上存在するから
正の整数aの値は存在しない。

(i)、(ii)　より
a=3

(i)　のとき
①、②を同時に満たすｘの値の範囲は
5≦x≦2a　つまり　5≦x≦6
このとき、①、②を同時に満たす整数xの値は　x=5, 6　の2個
(ii)　のとき
例えば、a=6　とすると　2a=12
となり、①、②を同時に満たすｘの値の範囲は
6≦x≦12
このとき、①、②を同時に満たす整数xの値は　x=6, ７, 8, 9, 10, 11, 12　の7個になってしまう

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/09/10 01:00

x^2 -4x -5 ≧ 0　　　　　　（１）

x^2 -3ax + 2a^2 ≦ 0　　　（２）

ということですね？
不等式の解き方が分からない？
あるいは、最後の「整数xが2個だけ存在する」条件が分からない？　←これは、泥臭く具体的に数値を見て判断すればよいのです。何でも「式で解く」必要はありません。

やってみましょうか。

（１）を因数分解すると
( x - 5 )( x + 1 ) ≧ 0

これは、つまり
（1A） x - 5 ≧ 0　かつ　x + 1 ≧ 0
または
（1B） x - 5 ≦ 0　かつ　x + 1 ≦ 0
を満たす必要があるということです。（両方とも正、または両方とも負）

従って、
（1A）より、5 ≦ x 　　　　（1C）
または
（1B）より、x ≦ -1 　　　　（1D）


次に（２）を考えましょう。（２）を因数分解すると
( x - 2a )( x - a ) ≦ 0

これは、つまり
（2A） x - 2a ≧ 0　かつ　x - a ≦ 0
または
（2B） x - 2a ≦ 0　かつ　x - a ≧ 0
を満たす必要があるということです。（一方が正で、他方が負）

従って、
（2A）より、x ≦ a かつ 2a ≦ x となり、これを満たす x はない
または
（2B）より、a ≦ x ≦ 2a

a は正の整数なので、
　　0 ≦ a ≦ x ≦ 2a 　　　　（2C）


以上から、（1D）と（2C）は共通範囲を持たないから、共通範囲を持つのは（1C）と（2C）で
　　5 ≦ x 　　　　（1C）
　　0 ≦ a ≦ x ≦ 2a 　　　　（2C）
これを同時に満たす整数 x が２個だけ存在するのは、
　　2a = 6
　∴　a=3
のときです。（このとき、x=5, 6 ）　←これは、（1C）（2C）を眺めれば判断できる

つまり、解答は
　　a=3