数学 数と式

問題
p=1-√2+√3, q=1-√2-√3 がある。
p^3-q^3の値を求めよ。

答え
※画像

答えの一行目の式変形はどのような考え方で行っているのでしょうか？
画像のように式変形ができる理由がわかりません。
考え方や途中式を教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/08 17:22

問題が「その p と q を与えて p^3-q^3 を求めろ」ってものだとしたら, その変形は明らかに不自然. ふつうなら

p^3-q^3 = (p-q)(p^2+pq+q^2), p^2+pq+q^2 = (p+q)^2 - pq
から計算するはず.

一方指摘あるように「p^2+q^2 が既に計算されている」というなら, この変形はありえる. だって, そういう問題だとしたら「p^2+q^2 が既に計算されていることを使って処理していこう」という流れを期待しているだろうし, そうだとしたら「p^2+q^2 からどうやって p^3-q^3 を作るか」って話になる. そして, そう考えれば
(p-q)(p^2+q^2)
までは自然で, そこから出てくる「不用品」を処理しているのが残りの項.

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/08 21:03

問題の 一部分を 切り取って質問してませんか。

p, q が与えられて、p+q と pq を求めて、
それを使って p²+q² をもとめる問題が
この質問の 前にありませんでしたか。
その 結果をつかって p³+q³ を求めるのでは。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/08 19:00

No.3 の言うとおりだろうと思うが、

なぜ p^2 + q^2 を経由したのかは不思議。

p^(n+1) + q^(n+1) = (p + q)(p^n + q^n) - pq(p^(n-1) + q^(n-1))　や
p^(n+1) - q^(n+1) = (p + q)(p^n - q^n) - pq(p^(n-1) - q^(n-1))　を
利用する計算なら、頻出の問題だろうけれども。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/04/08 16:21

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13421128.html No.3 の要領でやった方が素直だと思う。

　それはさておき、p = q のとき p^3 - q^3 = 0だから、p^3 - q^3 は (p - q)で割り切れるとわかる。で、実際やってみれば
　　p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)
　　= (p - q)(p^2 + q^2) + (p - q)pq
となる。（わざわざ(p^2 + q^2)を作ったのは、別の問題ですでに計算してあるからでしょうかね。）
　なので、1行目の右端の式がいきなり出てくるのは確かにちょっと不思議。

No.1 回答者： raizo-ichikawa 回答日時： 2023/04/08 16:04

答えが間違ってない？

もっと簡単な値になりそうな…