【数3 微分法】 両辺の関数をxで微分すると〜とあるのですが、微分して左辺が、(loglyl)'にな

【数3 微分法】

両辺の関数をxで微分すると〜とあるのですが、微分して左辺が、(loglyl)'になるのはおかしくなですか？
普通、( )'の中はxの関数じゃないとダメですよね？

質問者からの補足コメント

• yで微分したのなら理解できるんですけど、xで微分してるのに…
  納得できないです…

    補足日時：2020/04/02 22:32

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/03 13:54

＞これってどのように合成関数の微分法則を使ってるんですか？

f = log|y| と書きましょうか。
合成関数の微分法則は、df/dx = (df/dy)(dy/dx) です。
df/dy = (d/dy)log|y| = 1/y なので、この式から
df/dx = (1/y)(y’) = y’/y となります。

＞普通、( )'の中はxの関数じゃないとダメですよね？

一番大切なのは、y が x の関数なら log|y| も x の関数だ
ということを理解することじゃないかな。
この log|y(x)| みたいに、関数に関数を代入したようなものを「合成関数」といいます。
log|y(x)| は、log|z| に z = y(x) が代入してありますね。
合成関数の微分法則は、上記でやって見せたように、
このような合成関数を微分するためにあるんです。

この回答へのお礼

そーゆーことなんですね！
ありがとうございます

お礼日時：2020/04/04 07:32

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/03 12:08

大元の式からｙはｘの関数なので　y=f(x)

次に、log|y|=zとおくと　
log|y|をxで微分というのは　dz/dx　です
ここで、定理：dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)　を利用（・・・合成関数の微分法）
すると、log|y|をxで微分するなら、　
まずlog|y|をyで微分して・・・dz/dyに相当
さらに、y=f(x)をxで微分・・・(dy/dxに相当）
2つの積を微分結果とすればよいことが分かります
ゆえに、log|y|をxで微分すると
(d/dy)log|y|=1/y
dy/dx=(d/dx)f(x)=f'(x)=y'　であることを用いて
(d/dx)log|y|=dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)=(1/y)・y'となります

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/03 00:04

ｙ は x の関数なのだから、y(x) と書けば解り易いのでは？

合成関数の微分法則から、(d/dx)log|y(x)| = ( 1/y(x) )・(d/dx)y(x) です。
この右辺を y’/y と書いてもよいでしょう。

この回答へのお礼

これってどのように合成関数の微分法則を使ってるんですか？

お礼日時：2020/04/03 11:32

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/04/02 23:49

y は x の関数だから log |y| だって x の関数でしょ?

ま, 「x の関数」でないものを x で微分しちゃいけない理由もない (というか, 微分しちゃいけないっていわれると困るんだ) けど.

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/02 23:17

＞普通、( )'の中はxの関数じゃないとダメですよね？

対数だって関数ですよ？
　y = A･log(x)
は「対数関数」と呼ばれます。
変数名を変えて
　z = log(y)
と書いたって、「対数関数」であることに変わりはないですよ？

＞yで微分したのなら理解できるんですけど、xで微分してるのに…

(loglyl)' は「x で微分する」ということです。
loglyl を x で微分すれば、y = f(x) と考えて
　[log|f(x)|]' = (d(loglyl)/dy)(dy/dx)
で求められますよ？

(d(loglyl)/dy) = 1/y
dy/dx = y'
なので、左辺の微分結果は
　y'/y
になります。

この回答へのお礼

なるほど！ありがとうございます

お礼日時：2020/04/03 08:36