重積分の範囲の違いによって結果が異なるのはなぜですか？

∬［A］√（x^2+y）dxdy
xy面の範囲Aはy=x^2、y=4-x^2で囲まれた範囲です。

∫［-√（2）→√（2）］dx∫［x^2→4-x^2］dy √（x^2+y）
で出した計算結果と
2∫［0→√（2）］dx∫［x^2→4-x^2］dy √（x^2+y）
で出した計算結果が異なります。
同じになるはずじゃないですか？ただの計算ミスでしょうか？

前者で解くと答えは8√2、
後者だと32√2/3になります。
計算間違ってますか？

No.4 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/12/30 10:53

no1の回答の計算と同じミスをしていると思います。

√x^6をｘ^3としてしまったのでしょう。
√x^6=|x^3|です。

この回答へのお礼

皆さん回答ありがとうございます。

前者と後者逆でした。
前者を解くと32√2/3になり、
後者は8√2でした。すみません。

範囲が［-√（2）→√（2）］の積分と、
範囲が［0→√（2）］の積分を×2したものと、
答えはどちらも同じになるはずじゃないか、どうして答えがちがうんだ？？？
と混乱していましたが、
貴方の回答を見て、
x^3のグラフの［-√（2）→0］の範囲を見たらx軸より下だったので、
この部分だけマイナスを付けて計算したら答えが合いました！

解決して良かったです！
皆さんの回答も助けになりました！ありがとうございます！

お礼日時：2023/12/30 16:36

No.5 回答者： kokorororo 回答日時： 2023/12/30 11:22

計算は正しいです。

前者では、積分領域の x の範囲は -√2 から √2 までです。一方、後者では、積分領域の x の範囲は 0 から √2 までになっています。

積分領域の x の範囲が異なると、積分の値も異なることになります。

前者では、積分領域の x の範囲は -√2 から √2 までなので、積分結果は次のようになります。

∫［-√（2）→√（2）］dx∫［x^2→4-x^2］dy √（x^2+y）
= ∫［-√（2）→√（2）］dx[√（x^4+x^2+4-x^2）]
= ∫［-√（2）→√（2）］dx[√（2x^2+4）]
= ∫［-√（2）→√（2）］dx[√（2）(x^2+2)]
= ∫［-√（2）→√（2）］dx(√（2})(x+√（2）)
= ∫［-√（2）→√（2）］(x+√（2})dx
= [x^2/2+√（2）x]［-√（2）→√（2）］
= (√（2})^2/2+2√（2}(√（2})-(-√（2})^2/2-2√（2}(-√（2})
= 4√（2）
後者では、積分領域の x の範囲は 0 から √2 までなので、積分結果は次のようになります。

2∫［0→√（2）］dx∫［x^2→4-x^2］dy √（x^2+y）
= 2∫［0→√（2）］dx[√（x^4+x^2+4-x^2）]
= 2∫［0→√（2）］dx[√（2x^2+4）]
= 2∫［0→√（2）］dx[√（2})(x^2+2)]
= 2∫［0→√（2）］dx(√（2})(x+√（2})
= 2∫［0→√（2）］(x+√（2})dx
= [x^2/2+√（2}x]［0→√（2）］
= (√（2})^2/2+2√（2}(√（2})-0-0
= 32√（2}/3
したがって、計算は正しく、答えは異なることになります。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/30 09:14

君がやった計算を見せて質問しなければ、

どこで何を間違ったかは判りようも説明しようもない。
そういうとこが、勉強苦手の所以なのかな？

結論として、正解は 32√2/3 のほうで、
8√2 ( = 32√2/4 ) のほうは間違っている。

∬［A］ √（x^2+y） dxdy
= ∫［-√2→√2］ ∫［x^2→4-x^2］ √（x^2+y） dy dx
までは合っているが、その先なにをやったのか...

32√2/3 の分母の 3 は、√ を積分した (2/3)( )^(3/2) の係数
として現れるから、途中計算を追っていって
どこでこの /3 が消えたのか？を探せば、ミスの箇所が発見できるはず。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/30 05:32

∬［A］√(y+x^2)dxdy

A={(x,y)|x^2≦y≦4-x^2}

∫[-(√2)→√2]{∫[x^2→4-x^2]√(y+x^2)dy}dx
=
∫[-(√2)→√2][(2/3)(y+x^2)^(3/2)]_{x^2→4-x^2}}dx
=
∫[-(√2)→√2][(2/3)2^(3/2){2^(3/2)-x^3}}dx
=
(2/3)2^(3/2)[2^(3/2)x-x^4/4]_{(-√2)→√2}
=
(2/3)2^(3/2)[2^(3/2)√2-√2^4/4-{2^(3/2)(-√2)-(-√2)^4/4}]
=
(2/3)2^(3/2)[2^(3/2)√2-√2^4/4-2^(3/2)(-√2)+√2^4/4]
=
(2/3)2^(3/2)[2^(3/2)√2-√2^4/4+2^(3/2)√2+√2^4/4]
=
(2/3)2^(3/2)[2^(3/2)√2+2^(3/2)√2-√2^4/4+√2^4/4]
=
(2/3)2^(3/2)2^(3/2)2√2
=
(2/3)(2^3)2√2
=
32√2/3

8√2は間違いです
前者でも32√2/3になります。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/30 04:47

∬［A］√(y+x^2)dxdy

A={(x,y)|x^2≦y≦4-x^2}

∫[-(√2)→√2]{∫[x^2→4-x^2]√(y+x^2)dy}dx
=
∫[-(√2)→√2][(2/3)(y+x^2)^(3/2)]_{x^2→4-x^2}}dx
=
∫[-(√2)→√2][(2/3)2^(3/2){2^(3/2)-x^3}}dx
=
(2/3)2^(3/2)[2^(3/2)x-x^4/4]_{-(√2)→√2}
=
(2/3)(2^3)2√2
=
32√2/3

前者でも32√2/3になります。