積分式の中に微分式がある場合の解き方

∫ [ d^2/dt^2 (x) ]dx
が
1/2 [ d/dt (x) ]^2
となる理由を教えてほしいです。

記号じゃわかりづらいですかね
(x)をtで2階微分したものをxで積分してます。

この計算方法と過程も教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/09 15:14

「(x)をtで2階微分したものをxで積分してます。

」と書かれているので、「微分の対象は x」ということで、これが抜けていますか？

そうだとすれば
　v = dx/dt　　　　①
と書けば
　d²x/dt² = dv/dt　　　②
です。

従って
　∫(d²x/dt²)dx = ∫(dv/dt)dx　　　③

①を
　vdt = dx
と書いて③に代入すれば
　③ = ∫(dv/dt)vdt = ∫vdv
　　= (1/2)v^2 + C
　　= (1/2)(dx/dt)^2 + C

この回答へのお礼

おっしゃるとおり物理の計算過程です。
モヤモヤしていたので助かりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2023/11/11 23:52

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/10 08:47

一般的にはならない。

例えば
x(t)=t とするとx'=1, x''=0 ('は時間微分)
∫x''dx=C
(1/2)x'^2=1/2

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/09 17:35

No.2 です。

質問のカテゴリーは「数学」ですが、ご質問の内容はおそらく「物理」の話なのだろうと思います。

位置 x の時間微分は
　dx/dt = v　(速度)
であり、そのまた時間微分は
　dv/dt = d²x/dt² = a （加速度）
ということになります。

ということは、与式は
　∫(d²x/dt²)dx = ∫adx
であり、これに「質量：m」（定数）をかければ
　m∫(d²x/dt²)dx = ∫(ma)dx　　　　①
になります。
ニュートンの運動方程式で、加えた力とそれによって生じる加速度の関係は
　F = ma
ですから、①は
　∫(ma)dx = ∫Fdx　　　　②
であり、それは物理では「その力が経路に沿ってする仕事」になります。

一方、
　(1/2)(dx/dt)^2 = (1/2)v^2
ですから、これに「質量：m」（定数）をかければ
　(1/2)mv^2　　　③
つまり「運動エネルギー」になります。

②と③は、「力のした仕事が、運動エネルギー（の増加分）に等しい」という「エネルギー保存則」の関係であることになります。
単に「数学的に変換できる」というだけではなく、物理的にはそのようなことを意味しているということです。

蛇足情報でした。

No.1 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/11/09 15:01

∫ x'' dx

= ∫ x'' dx/dt dt
= ∫ x'' x' dt
= ∫ ((x')²/2)' dt