はさみうちの定理を使う極限の問題です。

　lim(n→∞) n*sin(π/n)　の極限値を求める問題で、はさみうちの定理を使って解くことを考えたのですが

　 ≦ n*sin(π/n) ≦ n*π/n

となり、右辺の数式は見つけられたのですが、左辺に最適な数式が見つけられずにいきずまっています。答えは、πになるそうなのですが、その過程が分からなくなったので、質問させていただきました。宜しければ、ご回答お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2004/11/29 23:46

lim(n→∞) n*sin(π/n)

=lim(n→∞) (sin(π/n)/(π/n))*π
となり、
lim(ｘ→０) （sinｘ）／ｘ＝１
を使う。

この回答へのお礼

なるほど、そういった変形をして解けばいいのですね。ありがとうございます。

お礼日時：2004/11/30 13:23

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2004/11/30 11:19

θが小さいときに θ≦tanθ であることから, 十分大きな n に対して θ=π/n とおくと

π*cos (π/n) ≦ n*sin(π/n)
となりますね.

この変形のもとねたは sinθ/θ→1 (θ→0) に対する
sinθ≦θ≦tanθ
からのはさみうち, ですが.

この回答へのお礼

この問題においては、sinθ/θ→1 (θ→0)が鍵になるようですね。ありがとうございます。

お礼日時：2004/11/30 13:26

No.2 回答者： nabla 回答日時： 2004/11/29 23:49

はさみうちというよりも

x=1/nという変換をして
lim(n→∞)n*sin(π/n)
＝lim(x→0)sin(πx)/x
＝lim(x→0)πsin(πx)/(πx)
と変形した後
t=πxと変数を変換して
lim(x→0)πsin(πx)/(πx)
＝πlim(t→0)sint/t
＝π
と持ち込めばよいでしょう。

この回答へのお礼

なるほど、そういった変形をして解けばいいのですね。ありがとうございます。

お礼日時：2004/11/30 13:24