数二の問題で

『関数y=asinx+bcosxはh=π/6で最大値を取り
また最小値は-5である。定数a,bの値を求めよ。』

と言う問題が解けなくて困っています。
よろしくお願いします！

No.4 ベストアンサー 回答者： nabla 回答日時： 2005/01/24 21:57

別解です。

この問題のようにsinとcosに関する線形な式を扱う場合は単位ベクトルとして扱うと一発で分かります。

u＝(b,a)、v＝(cosθ,sinθ)とおいたとき

内積u・vはv＝(√3/2,1/2)で最大値をとります。
ところで内積が最大になるのはuとvが同じ向きを向いたときであることは分かっています。
つまりb：a＝√3：1です。

さらにvが単位ベクトル（長さが１のベクトル）であることと、内積の最小値が－５であることから
uの長さは５であると分かります。
つまりa^2+b^2＝25です。

以上からa＝5/2、b＝5√3/2だと分かります。

まあこんなに式をいじりまわさなくても、本当は図を書くことで暗算だけで答えを出してしまえます。

No.3 回答者： betagamma 回答日時： 2005/01/23 22:01

http://www.nikonet.or.jp/spring/gousei/gousei.htm
を見ましょう。
三角関数の合成を使うと、
y=√(a^2+b^2) sin(x+alpha)
という形に変形できます。
これは、どの教科書にもかいてあります。
alphaはともかくとして、ちょっと考えてみましょう。

sin関数は、sinの中身がどんな関数でも、最大値は1で最小値は-1です。
だから、最小値が-5ということは、√(a^2+b^2)=5ということです。
だから、√(a^2+b^2)=5を二乗して、a^2+b^2=5^2=25です。
そして、alphaには、
√(a^2+b^2)*cos(alpha)=a
√(a^2+b^2)*sin(alpha)=b
という式が成り立ちます。√(a^2+b^2)=5なのですから、
5*cos(alpha)=a
5*sin(alpha)=b
なわけです。
あとは、x=π/6で最大値をとる、とありますね。最大値をとるとき、sin関数の中身はπ/2なのですから、x+alpha=π/2であることを考えて、alpha=π/2-π/6=2π/3です。
ということは・・・？あとは、わかりますよね。

No.2 回答者： betagamma 回答日時： 2005/01/23 22:01

http://www.nikonet.or.jp/spring/gousei/gousei.htm
を見ましょう。
三角関数の合成を使うと、
y=√(a^2+b^2) sin(x+alpha)
という形に変形できます。
これは、どの教科書にもかいてあります。
alphaはともかくとして、ちょっと考えてみましょう。

sin関数は、sinの中身がどんな関数でも、最大値は1で最小値は-1です。
だから、最小値が-5ということは、√(a^2+b^2)=5ということです。
だから、√(a^2+b^2)=5を二乗して、a^2+b^2=5^2=25です。
そして、alphaには、
√(a^2+b^2)*cos(alpha)=a
√(a^2+b^2)*sin(alpha)=b
という式が成り立ちます。√(a^2+b^2)=5なのですから、
5*cos(alpha)=a
5*sin(alpha)=b
なわけです。
あとは、x=π/6で最大値をとる、とありますね。最大値をとるとき、sin関数の中身はπ/2なのですから、x+alpha=π/2であることを考えて、alpha=π/2-π/6=2π/3です。
ということは・・・？あとは、わかりますよね。

No.1 回答者： nich 回答日時： 2005/01/23 21:36

ヒントを。

三角関数の合成を使いましょう。