数学　三角関数

Question

関数　y=3cosθ+４sinθ （０≦θ≦π/２）　について、

（１）　ｙのとりうる値の範囲は□≦ｙ≦□である。
（２）　ｙが最大値をとるとき、sinθ＝□、cosθ＝□である。
（３）　ｙが最大値をとるとき、ｚ＝３sin２θ+４cos２θの値は□である。

□の値を教えてください。
途中計算も欲しいです。
よろしくお願いします。

info22_ · Accepted Answer

(1)
三角関数の合成を行えばよい。

y=3cosθ+４sinθ=5sin(θ+α),ただし　cosα=4/5,sinα=3/5 ...(☆)
０≦θ≦π/2 より
　α≦θ+α≦α+π/2, 0＜sinα=3/5＜sin(α+π/2)=cosα=4/5より
　∴5sinα＝3≦y≦5

(2)
yが最大値5をとるとき　θ+α=π/2
　sinθ=sin(π/2-α)=cosα=4/5　（∵(☆)より）
　cosθ=cos(π/2-α)=sinα=3/5　（∵(☆)より）

(3)

yが最大値5をとるとき　θ+α=π/2
　x=3sin(π-2α)+4cos(π-2α)
　 =3sin(2α)-4cos(2α)
　 =6sinαcosα-4(cosα-sinα)(cosα+sinα)
　 =6(3/5)(4/5)-4((4/5)-(3/5))((4/5)+(3/5))　（∵(☆)より）
　 = ....   ←小学生の分数計算です。

alice_44 · Answer

三角関数の合成とは、A cosθ + B sinθ (A,B は定数)
という形の式を、= R sin(θ+δ) または = R cos(θ+δ)
と変形することを言います。重要な基本手技であり、
非常によく使いますから、教科書か参考書で確認しておくこと。

そのような R,δ を求めるには、変形した後のほうの式を
加法定量で展開して、R sin(θ+δ) = (R sinδ)cosθ + (R cosδ)sinθ.
元の式と係数を比較して、A = R sinδ, B = R cosδ.
この式から、(sinδ)2乗 + (cosδ)2乗 = 1 を使って δ を消せば、
Rの2乗 = Aの2乗 + Bの2乗 が判ります。
この R を用いて、sinδ = A/R, cosδ = B/R とすれば、
そのような δ は 0 ≦ δ ≦ 2π の範囲に一個あることも解ります。
δ の具体的な値は、多くの問題で、最後まで判らないけれど、
δ が在ることと、sinδ, cosδ の値さえ判れば、
y = R sin(θ+δ) の式形で、問題を解くのに使えます。

今回質問の問題も、この変形ができてしまえば、後は
sin のグラフを見たことあるかどうかだけですね。

mister_moonlight · Answer

０≦θ≦π/2　という条件が問題を面倒にしている。
いっそのこと、三角関数から離れた方が簡単にいく。

cosθ＝α、sinθ＝β　とすると　α＾2＋β＾2＝1、α≧0、β≧0　‥‥(1)
この条件で　y=3α+４βの最大値と最小値を考えると良い。(1)をαβ平面上に図示すると、原点を中心とする半径が1の円の第一象限の部分。
４β＝-3α＋y　は傾きが　-3/4　の直線だから
・最大値は　この円と接するとき。直線と円の距離が円の半径の1に等しい時だから　点と直線との距離の公式から｜y｜/5＝1　y＞0は自明から　最大値は5
・最小値は　点(1、0)を通るとき　つまり最小値は3　
以上から　3≦y≦5

y＝5の時、5=3α+４βと(1)を連立すると　α＝3/5、β＝4/5.‥‥(2)

加法定理から　sin２θ＝2αβ、cos２θ＝2α＾2＋1　から(2)を使えば　設問の3は直ぐ出る。

mister_moonlight · Answer

書き込みミス。

(誤)加法定理から　sin２θ＝2αβ、cos２θ＝2α＾2＋1　から(2)を使えば　設問の3は直ぐ出る。

(正)加法定理から　sin２θ＝2αβ、cos２θ＝2α＾2-1　から(2)を使えば　設問の3は直ぐ出る。

数学 三角関数

(1)

三角関数の合成とは、A cosθ + B sinθ (A,B は定数)

０≦θ≦π/2 という条件が問題を面倒にしている。

書き込みミス。

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０≦θ≦π/2　という条件が問題を面倒にしている。