【コナン30周年】嘘でしょ!?と思った○○周年を教えて【ハルヒ20周年】

角θは、0<=θ<=Πにおいて、絶対値(2cosθ+sinθ)<=1を満たすとする。

1、sinθのとる値の範囲を求めよ。
2、cosθ+sin2θのとる値の範囲を求めよ。

この問題がわかりません。教えてください。

A 回答 (2件)

グラフを描いて、それをみながら計算を進めないと


解くのが難しいかと思います。

1
y=2cosθ+sinθ=√5sin(θ+a)
ここで cos(a)=1/√5,sin(a)=2/√5 (π/3<a<π/2)
π/3≦θ+a≦π+a<3π/2の範囲で
|y|≦1を満たすθの範囲は
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
このとき
1≧sinθ≧-cos(2arccos(1/√5))=-(2/5-1)=3/5

2
cosθ+sin(2θ)=f(θ)とおくと
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
の範囲では
θ=π/2で f(θ)は最大となり,最大値f(π/2)=cosθ+sin(2θ)=0
θ=(3/2)π-2arccos(1/√5)で最小となり
このときcosθ=-sin(2arccos(1/√5))=-4/5
sinθ=-(2/5-1)=3/5
 sin(2θ)=2cosθsinθ=-24/25
最小値f((3/2)π-2arccos(1/√5))=(3/5)-(24/25)=-9/25
∴-9/25≦cosθ+sin(2θ)≦0
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この回答へのお礼

解りやすい解答有難うございました。

お礼日時:2010/03/06 22:56

>グラフを描いて、それをみながら計算を進めないと解くのが難しいかと思います。



難しく解くから、そういう感想になる。。。。。w

cosθ=x、sinθ=y、とすると、x^2+y^2=1 0≦y≦1、|x|≦1、-1-2x≦y≦1-2x ‥‥(1)
(1)をxy平面に図示すると、とり得る値の範囲は 単位円のA(0、1)、B(-4/5、3/5)の間。

>1、sinθのとる値の範囲を求めよ

3/5≦y≦1 は明らか。

>2、cosθ+sin2θのとる値の範囲を求めよ

P=x+2xy=(2y+1)*x という2変数問題の最大値と最小値になる。
3/5≦y≦1、-4/5≦x≦0 であり、2y+1>0より 傾きが正のxの一時関数。
あとは簡単だろう。
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