数学Ⅱ三角関数

tanΘ/２＝ｔのとき、cosΘ、sinΘを求める問題です。
まず、cosΘをもとめ、次にsinΘを求めるためにsin^2Θ＝1-cos^2Θで説いたのですが、
なぜsinΘにはプラスマイナスがつかないのですか。
教えてください。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2020/09/30 05:25

> tanΘ/２

って、
tan(θ/2) なのか (tanθ)/2 なのか、どっち？

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/29 12:15

#2補足

tan(θ/2)=t>0のとき
θ/2は第一象限の角…①、もしくは第3象限の角…③

①の場合
θ=2・(θ/2)は　第一象限・・・①’
または　第2象限・・・①"となる
①',①"いずれの場合でもsinθはプラス

➂の場合、（θ/2=180.001度くらいだとすればθは360.002くらい
θ/2=269.999どくらいなら　θ=539.998くらいだから）
θ=2・(θ/2)は　第１象限・・・➂’
または　第2象限・・・➂"となる
➂',➂"いずれの場合でもsinθはプラス
　
ゆえにt>0の場合は　
sinθ=2t/(1+t²)　　←←←t>0の範囲では、この式の両辺の値はともに正だから
符号に矛盾なし

面倒だから詳しい場合分けはやらないけど（興味があれば上と同じ要領で4つに場合分けして確認してみてください・・・）
　sinθ=2t/(1+t²)について　t<0の時
sinθ<0　と　　2t/(1+t²)<0 　は符号が矛盾しない

以上から　sinθは、2t/(1+t²)この式1つで表して構わないということなのです
理解できましたか？
ゆえに、たとえ
sin^2Θ＝1-cos^2Θ　という遠回りな解き方で解いたとしても
sinθの式は唯一
sinθ=2t/(1+t²)だけが適で　
プラスマイナスをつけてはいけないのです

理解できないなら最短の道筋の解法(＃２の解法）を採用して解くことです

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/29 11:53

倍角公式より

tanθ＝tan2(θ/2)=2tan(θ/2)/{1-tan²(θ/2)}=2t/(1-t²)
cosθ＝cos2(θ/2)=2cos²(θ/2)-1=[2/{1+tan²(θ/2)}]-1
={2/(1+t²)}-1=(1-t²)/(1+t²)
この道筋で解けば
sinθ＝tanθcosθ={2t/(1-t²)}{(1-t²)/(1+t²)}
=2t/(1+t²)

プラスマイナスをつけようと思っても　つけようがない

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/29 11:13

0≦θ<2パイの範囲であれば、特定の t の値に対して

　tanθ = 2t
となるθは2つ存在します。

0≦θ<パイの範囲であれば１つ、θ の範囲に制限がなければ無数に存在します。

従って、0≦θ<2パイの範囲であれば、2つのθに対して sinθ、cosθ も２つずつ存在します（２つが重なることもある）。

もし sinθ にプラスマイナスがつかない「正」の値だけだとしたら、0≦θ<パイの範囲なのではありませんか？