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cos(θ+π/2)=-sinθ,sin(θ+π/2)=cosθ
cos(θ-π/2)=sinθ,sin(θ-π/2)=-cosθ
を加法定理や還元定理を使わずに証明して下さい.

教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

主客転倒していませんか。

まずcos(θ+π/2)=-sinθ,sin(θ+π/2)=cosθ
cos(θ-π/2)=sinθ,sin(θ-π/2)=-cosθを理解して、それから加法定理を学ぶとその公式を使ってSin Cosの相互関係が成り立っていることが確認できますよ。という順番と違いますか?

 加法定理を武器として使わずに証明する方法はいくつかあると思います。
 ・sinθ,cosθの定義から攻略する方法
 ・sinθ,cosθをθの関数と置き換えてグラフから攻略する方法
 ・複素数 z1=cosΘ+isinθとz2=cos(π/2)+isin(π/2)  (iは虚数単位)
  の積z1・z2の実部と虚部の比較で攻略する方法
 ・基本ベクトル e1、e2とベクトルの相等を使って攻略する方法

・基本ベクトル e1、e2とベクトルの相等を使って攻略する方法でまさに遊んでみます。
  1 2枚の直交座標平面を用意して、2つの原点Oを針で通す。最初はx軸同士、y軸同士は重なっている。(2枚が負動点がOのレイヤー関係になる。ピッタリ重ねたけど下に置いた座標平面を見ることができる。下に置いた座標平面をAと名付ける、Bは上に置いた座標平面とする。)

  2 下に置いた座標平面Aに原点Oを中心に半径1の単位円を描く。ここで
    二つのベクトル(1,0)=e1,(0,1)=e2 を作る。
    この二つのベクトルを基本ベクトルという。
  3 この円周上に定点Pを描く。点Pの座標はe1ベクトル(→重要だよ。角度を測り始めるから 出発ベクトルと呼びましょう)と→OPとのなす角をθとすると、sinθ,cosθの定義とベクトルの定義から→OPは
  →OP=cosθ(e1)+sinθ(e2) …①
   (この書き方を→OPの基本ベクトル表示法と呼びましょう)と書けます。

  4 B座標平面にも→OPが重なって描いてあります。この平面Bをπ/2回転させます。するとA平面にあったe1ベクトルがe2ベクトルにぴったり重なりますし、A平面座標のe2ベクトルが-e1ベクトルとピッタリ一致します。

  5 A座標平面だけに着目します。点PがOを中心にπ/2回転していますから、Pがθ回転した点をP'とすれば,→OP'を基本ベクトル表示法を使って→OP'=cos(θ+π/2) (e1)+sin(θ+π/2) (e2) …②と書けます。
  6 B座標平面に着目します。B平面でも点P'は固定して見えます。B座標平面上ではA座標平面上の基本ベクトルe1、e2がπ/2回転によってe1→e2にe2→-e1に移動しています。…③
  7 6において→OP'を基本ベクトル表示法で表すため、B座標平面で2つの基本ベクトルとして   e2と-e1ベクトルを採用します。→OP'のなす角と出発ベクトルe2とのなす角はθのままですから、B座標平面上の点P'の基本ベクトル表示は→OP'=cosθ (e2)+sinθ (-e1) …④
 と書けます!!。(わかるかな? B平面の原点を見たまま頭を90°回転させてOP'の座標を見ないとわからなくなるよ。)

  8  5で作った→OP'と7で作った→OP' は一致するから
    →OP'=cos(θ+π/2) (e1)+sin(θ+π/2)(e2)=cosθ (e2)+sinθ (-e1)
   一次独立のベクトルの一意性から係数を比較すれば
         cos(θ+π/2)=-sinθ 
         sin(θ+π/2)=cosθ

 9 cos(θ-π/2)=sinθ,sin(θ-π/2)=-cosθの方は例えばθ=t+π/2とでも置いて上の8を使えば
  瞬殺じゃないのかな。
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図を書いて説明することが、証明になっていますか?


その方針で証明するなら、図の場合分けは尽くさないといけません。
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№1さんの回答で単位円を描いてみました。


一つだけですが、他のものも同じようにやってみてください。
証明表現方法はご自身で。
「cos(θ+π/2)=-sinθ,sin」の回答画像3
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加法定理を使わずに? あほくさ...


三角関数を何だと思っているのか。

いやマジで、三角関数を定義する方法はいくつもあり、
こういう根底的なところの定理の証明は、定義の違いで
証明の内容が違ってくる。どの定義でも、加法定理は
早期に証明して、他の流派と共通の界面を作るのに使われる。
そもそも、加法定理と連続性と1点での微分可能性だけでも
sin と cos は定義できる。何を好き好んで、加法定理を避けて...

中学高校の教科書の流儀に近いところを狙うと、
三角比から定義域を拡張して行くから、
最初に三角比で cosθ = sin(π/2 - θ) が、
拡張してゆくところで
sin(-θ) = -sinθ, sin(θ+π) = -sinθ,
cos(-θ) = cosθ, cos(θ+π) = -cos(θ)
などが仮定される。これらを使って、
cos(θ+π/2) = cos((θ-π/2)+π) = -cos(θ-π/2) = -cos(π/2-θ) = -sinθ.
sin(θ+π/2) = sin((θ-π/2)+π) = -sin(θ-π/2) = sin(π/2-θ) = cosθ.
この2式を使って、θ = φ-π/2 と置けば、
cosφ = -sin(φ-π/2).
sinφ = cos(φ-π/2).

それとも、sin, cos をべき級数で定義して、
4式の成立を計算で示して欲しいのか?
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図(グラフ)を書けがすぐにわかることですが…

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