ここから質問投稿すると、最大4000ポイント当たる!!!! >>

【問題】周期2πにおいて

f(x)=|sinx| のフーリエ展開
のやり方や回答を教えてください。

A 回答 (1件)

sin(x)は周期2πの奇関数ですが


f(x)=|sin(x)| は周期πの偶関数です。

従って
>【問題】周期2πにおいて
は周期2πではなく、周期(基本)周期TはT=πと考えられます。

なのでf(x)は基本周期T=πでフーリエ級数展開

f(x)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox) + Σ(n=1,∞) b[n]sin(nwox)
(ただし wo=2π/T=2。展開係数の[ ]は下付き添字を表す。)

と展開できます。質問のf(x)が偶関数なので

 b[n]=0 (n,1,2, ... )
 f(t)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox)

と展開されます。展開係数は

 a[0]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|dx=(4/π)∫(0,π/2) sin(x)dx=4/π
 a[n]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|cos(nwox)dx
   =(4/π)∫(0,π/2) sin(x)cos(2nx)dx
   =(2/π)∫(0,π/2) {sin((2n+1)x)-sin((2n-1)x)}dx
   =-4/{π(4n^2-1)} (n=1,2, ... )

となります。
    • good
    • 4

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qフーリエ級数|cosx|

f(x)=|cosx|
をフーリエ級数で近似したいのですがa0、ak、bkがずべて0になってしまうのですが・・・
この関数はフーリエ級数で近似できないのですか?

Aベストアンサー

> 答えは
> 2/π +(4cos2x)/3π -4cos4x/15π+・・・+(4cos2nx×(-1)^(n+1))/(4n^2-1)π+・・・・
> でよいでしょうか?

そうだと思います.

Qsintのフーリエ級数展開

sintのフーリエ級数展開がsintになることを確かめたいのですが、
公式に当てはめてフーリエ級数展開をしても0になってしまいます・・
どうかやり方を教えて頂きたいです。

お願いします。

Aベストアンサー

#2の補足質問の回答
b_1=1だけ間違っています。

フーリエ級数展開の定義は
f(t) = (a_0/2)+Σ[n=1, ∞]( a_n cos nt + b_n sin nt )…(*)
展開区間を[-π,π]とした時の係数は
a_0=(1/π)∫[-π,π]sint・dt=-(1/π)[cost]|[-π,π]=0
a_n=(1/π)∫[-π,π] sint・cos(nt)・dt
=(1/π)∫[-π,π]{sin(n+1)t+sin(n-1)t}dt
  =(1/2π)∫[-π,π]{sin(2t)+0}dt=0     (n=1の時)
=(1/2π)[{-1/(n+1)}cos(n+1)t+{(-1)/(n-1)}cos(n-1)t]|[-π,π]=0
                       (n≧2の時)
b_n=(1/π)∫[-π,π] sint・sin(nt)・dt
  =-(1/2π)∫[-π,π]{cos(n+1)t-cos(n-1)t}dt
  =-(1/2π)∫[-π,π]{cos(2t)-1}dt=1     (n=1の時)
  =-(1/2π)[{1/(n+1)}sin(n+1)t-{1/(n-1)}sin(n-1)t]|[-π,π]=0
                       (n≧2の時)
となり
b_1=1でその他のフーリエ係数は全てゼロですね。

(*)の式は
f(x)=b_1・sint=sint
となるわけです。

#2の補足質問の回答
b_1=1だけ間違っています。

フーリエ級数展開の定義は
f(t) = (a_0/2)+Σ[n=1, ∞]( a_n cos nt + b_n sin nt )…(*)
展開区間を[-π,π]とした時の係数は
a_0=(1/π)∫[-π,π]sint・dt=-(1/π)[cost]|[-π,π]=0
a_n=(1/π)∫[-π,π] sint・cos(nt)・dt
=(1/π)∫[-π,π]{sin(n+1)t+sin(n-1)t}dt
  =(1/2π)∫[-π,π]{sin(2t)+0}dt=0     (n=1の時)
=(1/2π)[{-1/(n+1)}cos(n+1)t+{(-1)/(n-1)}cos(n-1)t]|[-π,π]=0
                       (n≧2の時)
b_n=(1/π)∫[...続きを読む

Qcos(wt)のフーリエ変換について

g(t)=cos(wt)
をフーリエ変換したいのですが、
F[{exp(jwt)+exp(-jwt)}/2]
=F[exp(jwt)]/2+F[exp(-jwt)]/2

まではわかったのですが、この後どう進めればいいのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>=(1/2)δ(f0-f)+(1/2)δ(f0+f)
>で合ってますでしょうか?

間違いではないけど普通は
=(1/2)δ(f-f0)+(1/2)δ(f-f0)

なお、fは周波数を表す変数、f0は信号の周波数で定数
フーリエ積分で使うδ関数の定義ではδ(f)は偶関数で
δ(-f)=δ(f)です。

>∫[-∞,∞]exp(j2πft)=δ(f)
F(f)=δ(f)…(B) の時、
フーリエ逆変換の定義式から
f(t)=∫[-∞,∞]F(f)e^(j2πft)df
=∫[-∞,∞]δ(f)e^(j2πft)df
  =e^(j2π0t)=1 …(B)
このf(t)のフーリエ変換の定義式から
F(f)=∫[-∞,∞]f(t)e^(-j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt ((B)を代入)
(A)からF(f)=δ(f)なので
 ∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt =δ(f)
この左辺でt=-t'と置換すると
 左辺=∫[-∞,∞] e^(j2πft')dt'=δ(-f)
が出てきます。
 この式で -f=f'と置換し、f',t'を改めてf,tと書くと
 左辺=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt=δ(f)
が出てきます。
以上から
δ(f)=δ(-f)=∫[-∞,∞] e^(j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt
という関係があることが分かります。

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>=(1/2)δ(f0-f)+(1/2)δ(f0+f)
>で合ってますでしょうか?

間違いではないけど普通は
=(1/2)δ(f-f0)+(1/2)δ(f-f0)

なお、fは周波数を表す変数、f0は信号の周波数で定数
フーリエ積分で使うδ関数の定義ではδ(f)は偶関数で
δ(-f)=δ(f)です。

>∫[-∞,∞]exp(j2πft)=δ(f)
F(f)=δ(f)…(B) の時、
フーリエ逆変換の定義式から
f(t)=∫[-∞,∞]F(f)e^(j2πft)df
=∫[-∞,∞]δ(f)e^(j2πft)df
  =e^(j2π0t)=1 …(B)
このf(t)のフーリエ変換の定義式から
F(f)=∫[-∞,∞...続きを読む

Qフーリエ級数の求め方。

フーリエ級数展開の問題で
[-π,π]の区間で|sin(t)|をフーリエ級数展開せよ。という問題です。
公式に当てはめて

a_0 = (1/π)*∫[-π,π] |sin(t)| dtとなって、まずこれを
=(2/π)*∫[0,π] sin(t) dtと直せますか?
絶対値がついているのでsin(t)は、π周期になってるのでこう直せると思ったんですが。

次にa_nを求めるのに
a_n=(1/π) * ∫[-π,π] (|sin(t)| * cos(nt)) dt
これも
=(2/π)*∫[0,π] sin(t) * cos(nt) dtとしてしまって問題ないですか?
あとこの積分は
部分積分や三角関数の積和の公式を使って解けばいいのでしょうか?
フーリエ級数について勉強を始めたばかりで自信がなくて細かいことを聞いてしまって
申し訳ありませんがよろしくお願いします。

Aベストアンサー

f(x)=a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)+b_n*sin(nx)}
∫[-π,π]f(x)dx=
∫[-π,π][a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)+b_n*sin(nx)}dx
= ∫[-π,π][a_0/2]dx=2π[a_0/2]
だから
[a_0/2]=(1/2π)*∫[-π,π]f(x)dx
または、
[a_0]=(1/π)*∫[-π,π]f(x)dx
ということですね。
同様に
∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx=
=Σ∫[-π,π]{a_n*cos^2(nx)]dx
=Σ[a_n]∫[-π,π]cos^2(nx)dx
=Σ[a_n]∫[-π,π][(1+cos2nx)/2}dx
=Σ[a_n][1/2}∫[-π,π]dx
=Σ[a_n][1/2}2π
[a_n/2]=(1/2π)∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
または
[a_n]=(1/π)∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
ということなのです。フーリエ級数展開はsin, cos関数やそれらとの直行関数との積関数を一区間で積分すると必ずゼロになるという性質を使っているのですね。
ということで|sint|は一区間で偶関数、sin(n)t が奇関数だから積は奇関数になり、
b_n=(1/π)*∫[-π,π] |sin(t)|*sin(n)t dt=0
になりますね。要するに左右がプラスマイナスで打ち消すということですね。
こんなところでいいかな。それからtは物理では時間なので変数として使う場合は注意がいりますね。

f(x)=a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)+b_n*sin(nx)}
∫[-π,π]f(x)dx=
∫[-π,π][a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)+b_n*sin(nx)}dx
= ∫[-π,π][a_0/2]dx=2π[a_0/2]
だから
[a_0/2]=(1/2π)*∫[-π,π]f(x)dx
または、
[a_0]=(1/π)*∫[-π,π]f(x)dx
ということですね。
同様に
∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx=
=Σ∫[-π,π]{a_n*cos^2(nx)]dx
=Σ[a_n]∫[-π,π]cos^2(nx)dx
=Σ[a_n]∫[-π,π][(1+cos2nx)/2}dx
=Σ[a_n][1/2}∫[-π,π]dx
=Σ[a_n][1/2}2π
[a_n/2]=(1/2π)∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
または
[a_n]=(1/π)∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
ということなの...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qフーリエ変換の問題について

f(x)=e^(-ax^2)  (-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= ...続きを読む

Q【フーリエ展開】sin[x]^3 (-Pi < x < Pi)のフーリエ級数展開で

f(x)=sin[x]^3 (-Pi < x < Pi)のフーリエ級数展開をしたいのですが、私の計算によると正弦級数が0になってしまいます。余弦級数が0なのは、上記の関数が奇関数だからで納得できますが、どうもこれはおかしいです。

私の解き方を説明すると、まずf(x)=sin[x]^3をsin[x]-((1-cos[2t])/2)と直し、bk=(1/Pi)∫(-Pi->Pi) f(x)*sinkt dt となり、これを解くと0になりました。どこが間違っていて、どうしたら解けるのでしょうか?

何卒ご教授下さい

Aベストアンサー

  sin(x)^3 = sin(x) -(1 -cos(2x))/2
の変形が違うようですよ。

正しくは
  sin(x)^3 = sin(x)*(1 -cos(2x))/2
ただ、これでもまだ積分しにくいので更に変形して
  sin(x)^3 = sin(x)/2 -sin(x)cos(2x)/2
       = sin(x)/2 -(sin(3x)+sin(-x))/4
       = 3*sin(x)/2 -sin(3x)/4
までするのがいいと思います。

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング