f(x)=|sinx| のフーリエ展開がわかりませ

【問題】周期２πにおいて

f(x)=|sinx| のフーリエ展開
のやり方や回答を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/08/06 00:04

sin(x)は周期2πの奇関数ですが

f(x)=|sin(x)| は周期πの偶関数です。

従って
>【問題】周期２πにおいて
は周期2πではなく、周期（基本）周期TはT=πと考えられます。

なのでf(x)は基本周期T=πでフーリエ級数展開

f(x)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox) + Σ(n=1,∞) b[n]sin(nwox)
(ただし wo=2π/T=2。展開係数の[ ]は下付き添字を表す。)

と展開できます。質問のf(x)が偶関数なので

　b[n]=0 (n,1,2, ... )
　f(t)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox)

と展開されます。展開係数は

　a[0]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|dx=(4/π)∫(0,π/2) sin(x)dx=4/π
　a[n]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|cos(nwox)dx
　　　=(4/π)∫(0,π/2) sin(x)cos(2nx)dx
　　　=(2/π)∫(0,π/2) {sin((2n+1)x)-sin((2n-1)x)}dx
　　　=-4/{π(4n^2-1)} (n=1,2, ... )

となります。