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2000年の予選問題の解答がどこを探してもないので質問しました。

http://www.imojp.org/challenge/old/jmo10yq.htm

ちなみにここに問題があります。

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A 回答 (1件)

1.


円O2の直径の長さをxとすると
9/x=x/4
となるから
x^2=36
∴円O2の直径の長さは
x=6

2.
自然数n≧8を3の倍数でも5の倍数でもないとする
mod(n,5)=1のときn=5m+1=3*2+5(m-1),となる自然数mが存在する
mod(n,5)=2のときn=5m+2=3*4+5(m-2),m≧2となる整数mが存在する
mod(n,5)=3のときn=3*1+5m,となる自然数mが存在する
mod(n,5)=4のときn=5m+4=3*3+5(m-1),となる自然数mが存在する
∴自然数n≧8に対してn=3a+5b,a≧0,b≧0となる整数a,bが存在する
7=3a+5b
a≧0,b≧0となる整数a,bが存在するならば
b≦7/5
b=0又はb=1となるが
b=0のとき3a=7となる整数aは存在しない
b=1のとき3a=2となる整数aは存在しない
7=3a+5bとなる整数a≧0,b≧0は存在しない
∴3a+5b(a,bは非負整数)の形で表わせない自然数の最大値は
7

3.
平面上に点Oを通る直線lと,一辺の長さ1の正三角形OAB がある.
ただし,辺ABとlは交点を持たないとする.
頂点A,Bからlに下ろした垂線とlとの交点をそれぞれA',B'とする.
A=e^{it}
B=e^{i(t+π/3)}=(cost+isint)(1+i√3)/2
0≦t≦2π/3
A'=cost
B'=cos(t+π/3)=(cost-sint√3)/2
|A-A'|=|sint|
|B-B'|=|sint+cost√3|/2
|A-A'|+|B-B'|
=|sint|+|sint+cost√3|/2
=(3sint+cost√3)/2
=(√3)sin(t+π/6)
t=π/3のとき
|A-A'|+|B-B'|のとりうる最大値
√3

4.
一歩で1段,2段,または3段を登れる人が,7段の石段を登る.
1111111が1通り
111112が6通り
11113が5通り
11122が5C2=10通り
1123が4*3=12通り
1222が4通り
133が3通り
223が3通り
∴合計
44通りの登り方がある.

5.
1辺の長さ1の立方体ABCD-EFGH があり,
辺CDの中点をK,辺DHの中点をL,
辺EFの中点をM,辺FBの中点をNとする.
|KL|=1/√2
|KN|=√(3/2)
|LM|=√(3/2)
|MN|=1/√2
KL⊥KN
だから
□KLMNは長方形で面積は
|□KLMN|=(√3)/2
四角錐AKLMNの
底面積|□KLMN|=(√3)/2
高さ(√3)/2
だから
|AKLMN|=1/4
同様に
|GKLMN|=1/4
∴8面体A-KLMN-Gの体積は
|A-KLMN-G|=|AKLMN|+|GKLMN|=1/2

6.
nを自然数とする.有理数係数の2n次方程式
x^{2n}+Σ{k=1~2n}(a_k)x^{2n-k}=0
の解はすべて
x^2+5x+7=0
の解にもなっているとすると
(x^2+5x+7)^n=x^{2n}+Σ{k=1~2n}(a_k)x^{2n-k}
(x^2+5x+7)^n=x^{2n}+5nx^{2n-1}+…
だから
a_1=5n

7.
2以上の自然数nに対して
0≦x<x+y<y+z≦n
を満たす整数の組(x,y,z)の総数をSとすると
0≦x<z
→1≦z
0<y≦n-z
→1≦z≦n-1
だから
z=1~n-1に対して
xはx=0~z-1のz通り
yはy=1~n-zのn-z通り
あるから
S=Σ_{k=1~n-1}k(n-k)

S=
n(n^2-1)/6

8.
40C20=40!/(20!20!)
=39*37*35*33*31*29*46*2
=(41-2)(41-4)(41-6)(41-8)(41-10)(41-12)(41+5)*2
=1(mod41)
∴40C20を41で割った余りは
1

9.
Σ_{k=1~100}([k^2/100]+[10√k])
=10+∫_{0~100}{(x^2/100)+(10√x)}dx
=
10010

10.
Σ_{m=1~999}Σ_{n=1~1000-m}1999!/{(2n-1)!(2m-1)!(2001-2n-2m)!}

11.
AD//BC,2∠ABC=2∠BDC=∠ACB, ∠ABC=2∠ABD=2∠CBD
∠ABD=t
とすると
tan(4t)/sin(2t)=1+tan(4t)/tan(3t)
2cos(2t)sin(3t)=sin(7t)
2{sin(3t)}^2=cos(6t)
{sin(3t)}^2=1/4
cos(6t)=1/2
6t=60°

∠ABC=2t=20°

12.
(i)a1,a2,a3,…,a30は自然数1,2,3,…,30の並べ換えである.
(ii)mが2,3,5のそれぞれの場合,1≦n<n+m≦30となる任意のnに対して,
an+m-anはmで割り切れる.
を満たす数列は
2*3!*5!=2*6*120
=
1440通り
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Q数学オリンピックの勉強法

数学オリンピックの勉強法

高校1年の男です。
得意で好きな教科と言ったら数学しかありません・・・

そこで 数学オリンピックに出たいのですが、勉強法が全く分かりません。


なにか良い参考書などがあれば教えてください

時間がないので お願いします。

Aベストアンサー

まず。
>数学オリンピックに出たいのですが
申し込みは済ませましたか?
もちろんしたとは思いますが。

これから書くのは、わたしが
Yahoo!知恵袋で回答したことのコピペです。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
IMOのメダリストが数学を教えている塾があるのですが、
そこで聞いたことを書きます。

JMOは世界各国の高校程度(微積分、確率統計、行列を除く)が範囲です。
しかし、知識はあればそれだけ有利なので、
たくさん知っていたほうがよいです(特に微積)。

予選は、単答式なので、過去問をやればよいです。
5~10年分ぐらいやればいいです。
過去問は、
1)数学オリンピック事典
2)数学オリンピック財団のHP
で手に入ります。

本選も基本的には過去問をやればよいのですが、
いくつか特殊的なところがあります。
問題(本選以降)の種類は、大きく4つに分けられて、
A(代数)、C(組み合わせ)、G(幾何)、N(整数論)です。
Aは、関数方程式と不等式がほとんど。
Cは、数学的帰納法、塗りわけなど。
Gは、初等幾何、座標幾何等。
Nは、そのまま整数論。
という感じです。
定石があるので、どのような種類の問題なのかを考えて、
過去問をやるとよいですよ。

数学オリンピックは、学校の数学とは
違った雰囲気の問題が出るので、
対策として過去問をとくことが重要です。

とにかく過去問をといて、
分からない物は人に聞いて徹底的にやってください。
才能で決まるものではないので。

それでは、あなたと国際大会で一緒に戦えることを願っています。
(私も数オリ受けてますので)

注1:IMOのメダリストが数学を教えている塾
[トップレベル生対象]で調べてください。
注2:IMO・・・国際大会
JMO・・・国内大会
数オリ・・・これらの総称
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

>時間がないので お願いします。
そうですね、
予選が1月ですから、
いつも学校とかで忙しいでしょうが、
時間を作ってがんばってくださいね。

まず。
>数学オリンピックに出たいのですが
申し込みは済ませましたか?
もちろんしたとは思いますが。

これから書くのは、わたしが
Yahoo!知恵袋で回答したことのコピペです。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
IMOのメダリストが数学を教えている塾があるのですが、
そこで聞いたことを書きます。

JMOは世界各国の高校程度(微積分、確率統計、行列を除く)が範囲です。
しかし、知識はあればそれだけ有利なので、
たくさん知っていたほうがよいです(特に微積)。

予選は、単答式なので、過去問...続きを読む

Q日本数学オリンピック予選問題について

 第14回(2004年)日本数学オリンピック予選問題の問題9について説明をお願いします。解答は手元にありますが、数学好き向けに説明しているので、全然わかりません。数学が得意でない人向けにわかりやすく説明してください。
問題9
 「7人の政治家がおり,いくつかの派閥がある.派閥とは1人以上の政治家が属する集団である.2つの派閥は,もしその両方に属する政治家と,どちらにも属さない政治家がともに存在すれば,必ず一方が他方を含むという.派閥の個数の最大値を求めよ.ただし,7人全員からなる集団も派閥であるとする.」

Aベストアンサー

#2です。23通りであっていたんですね。

★の条件を式で表すのなら、(Aを派閥の集合とします)

「任意のP,Q∈Aに対して
((P∩Q≠φ)∧(P∪Q≠U))⇒((P⊃Q)∨(P⊂Q))」
という感じになります。

「任意のP,Q∈Aに対して」の部分についてですが、
もし、A内に派閥がn個あれば、P,Qの選び方はnC2通りあります(P,Qの順番を考えない)。そのnC2通り全てに対して、という事になります。

また、
P∩Q≠φ:両方に属する政治家が存在する
P∪Q≠U:両方に属さない政治家が存在する
(P⊃Q)∨(P⊂Q):一方が他方を含む
の部分に相当します。また、

この条件は
「任意のP,Q∈Aが
(1)P∩Q=φ
(2)P∪Q=U
(3)P⊃Q
(4)P⊂Q
のうち、少なくとも1つを満たす」と同値です。
(★が↑の意味だと思って差し支えないかも)

それぞれを日本語で書けば
(1)P,Qの両方に属す政治家がいない
(2)全ての政治家はP,Qの少なくとも一方に属す
(3)Qに属す政治家はPに属している
(4)Pに属す政治家はQに属している
という感じです



>派閥PがAの要素であるならば、P~(=Pに属さない政治家からなる派閥)をAに付け加えても★を満たします
について

AにP~を付け加えた集合をBとします。
A内のどの2つの要素をとってきても、(1)~(4)のどれかを満たすのですから,結局P~とAの要素Qが(1)~(4)のどれかを満たせばOKとなります。
これは、P,Qが(1)~(4)のどれを満たしているかで場合分け(PもQもAの要素なので,(1)~(4)のどれかを満たす事が保証される)します。

(1)P∩Q=φ⇒P~⊃Q
(2)P∪Q=U⇒P~⊂Q
(3)P⊃Q  ⇒P~∩Q=φ
(4)P⊂Q  ⇒P~∪Q=U
ですから、P~とQも(1)~(4)のうち、少なくとも1つを満たしています。

よって、集合Bも★の条件を満たします。だから、
>なので、PとP~が共にAの要素であった方が、Aの要素の数は多くなります。
と言えます

>派閥に含まれる政治家の人数が…が最大です。
の部分について。

1人・6人からなる派閥および7人からなる派閥は、そもそも7通りおよび1通りしかありませんから、「1人・6人の派閥は7つ」「7人の派閥は1つ」が最大というのは明らかです。

次に、2人からなる派閥について。
まず、[ab]という派閥を作ります。(この書き方は#2と同じです)
ここに1つ派閥を付け加えるのを考えてみます
[ac]という派閥を付け加えると、[ab][ac]が★の部分の条件を満たしていません。なので、[ac]という派閥を付け加える事ができません。

aまたはbを含む派閥を付け加える事ができないので、付け加えることができるのはaもbも含まない[cd]となります。さらに、もう1つ付け加えるとしたら、[ef]となります。[ab][cd][ef]に属さない政治家はgのみですから、これ以上付け加える事ができません。なので、2人からなる派閥は3つまで。
同様に3人からなる派閥は2つまでとなります。
4人からなる派閥はPに対するP~のようなものを考えれば,結局3人からなる派閥に帰着できます。よって、2つまで。5人からなる派閥も同様に3つまで。

「★の条件を満たしたまま25個の派閥を作ることはできません。」
について。

まず、25個の派閥を作れるとしたら、
1人・6人の派閥は7つ
2人・5人の派閥は3つ
3人・4人の派閥は2つ
7人の派閥は1つ
存在しないといけません。

2人の派閥を3つ作るとしたら,
[ab][cd][ef]となります。ここに3人の派閥を1つ付け加える事を考えます。
この3人の派閥はabcdefのどれかを含みます。
そこでaを含むとします。もし、bを含まなかったら,★を満たしません。なので、bを含みます。
さらに、c~fを含んだら、★を満たさないので,gを含みます。
よって、[abg]という派閥を付け加えることになります。さらに、もう1つ3人の派閥を付け加えるとしたら、[cdg]となります。ところが、

[abg][cdg]の2つに注目すれば、★を満たさないことが分かります。

よって、2人の派閥が3つあったら、3人の派閥は1つまで、ですね。なので、25個の派閥は不可能、となります。

うーむ、下手な説明ですいません。分からない所があれば、補足してください。

#2です。23通りであっていたんですね。

★の条件を式で表すのなら、(Aを派閥の集合とします)

「任意のP,Q∈Aに対して
((P∩Q≠φ)∧(P∪Q≠U))⇒((P⊃Q)∨(P⊂Q))」
という感じになります。

「任意のP,Q∈Aに対して」の部分についてですが、
もし、A内に派閥がn個あれば、P,Qの選び方はnC2通りあります(P,Qの順番を考えない)。そのnC2通り全てに対して、という事になります。

また、
P∩Q≠φ:両方に属する政治家が存在する
P∪Q≠U:両方に属さない政治家が存在する
(P⊃Q)∨(P⊂...続きを読む

Q学研模試とは進研、全統、駿台と比較したときどのような位置づけとなるのでしょうか?

学研模試とは進研、全統、駿台と比較したときどのような位置づけとなるのでしょうか?

Aベストアンサー

学研ハイレベル模試というのが高1高2であるようですが、それは駿台にも匹敵するらしいです。高3での学研全国総合模試というのは、進研よりは難しいようですが偏差値の出方からは河合全統と同等かそれより少し難くらいかと想像します。

ただし東日本ではあまり選ばれない模試のようだし受験規模も駿台より少し多いくらいなのでマイナー模試と言え、中堅校までなら進研、国公立や私立上位は河合、最上位校は駿台という定番の図式の中に入れるまでもないような。マイナー模試はどうしても出題難易度にばらつきがでる(安定しない)傾向があると思います。


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