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関数y=sinx+cosx (0≦x≦2π)がある。
以下の問に答えなさい。
(1)yの導関数を求め、関数yの増減と極大値、極小値を調べなさい。
y'=cosx-sinx 
y'=0について、求めて増減表を作るんだと思うのですが
y'=0について求めることができません。どのようにすればよいでしょうか??
初歩的な質問ですがよろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

No.1です。

自分の回答は、間違ってました。滅茶苦茶です。
ひー……恥ずかしい。申し訳ないです。

y = sin(x)+cos(x) = √2*sin(x+π/4)

これは間違っていないと思います。
所詮sin(?)の取れる値の範囲は、0≦?≦2πのとき、-1≦sin(?)≦1です。
つまり、sin(x+π/4)が最大値を取るならば関数全体でも最大値を、
最小値を取るならば関数全体は最小値を取るということです。
sin(x+π/4)が最大のときとは、(x+π/4)=π/2 のときですよね。
よってx=π/4のとき、関数は最大値を取ります。
(0≦x≦2π が前提になりますが。)

しかしこれは
(1)yの導関数を求め、関数yの増減と極大値、極小値を調べなさい。
という問いの主旨からは外れます。
sin(x)+cos(x)は単純な関数で、√2*sin(x+π/4)に合成することができますが、
今後はもっと複雑な関数を取り扱うことになると思います。
さまざまな関数の挙動を確認するための王道が、
「yの導関数を求め、関数yの増減と極大値、極小値を調べなさい。」
つまり、y'を求め、y'が0になるときのxの値を求め、、増減表を書く、
なのです。
より単純な関数にできそうならばその努力をし、無理そうならとりあえず微分。
この方針で頑張ってください。
三角関数に限れば、微分の前の関数の整理が大切になるかと思います。

>cos(x) - sin(x)=2^{1/2} cos( x + (π/4) )で
>右辺はsinでなくcosなのでしょうか??
cosです。
加法定理を理解すればcosだと分かると思うのですが……
最初は、三角関数の合成は全部sinで覚えた方がよいと思います。
問題数をこなせば慣れます。
cos(x) - sin(x) = -sin(x) + cos(x) = √2*sin(x+3π/4) ですね。
参考:http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/gousei1.h …
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>なぜ、微分する必要ないのでしょうか??


sin 関数のグラフなら誰でも書けて、極大/極小もたやすく求められるから。
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>y'=0について求めることができません。

どのようにすればよいでしょうか??
cos x = sin x とすると sin^2 x + cos^2 x = 1 より 2 sin^2 x = 1
よって sin x = ±√2/2

だいたい、sin x + cos x 自体、三角関数の合成によって sin 関数となるので、微分して増減表を作る意味はない。
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この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
理解できない頭ですみません。
なぜ、微分する必要ないのでしょうか??

お礼日時:2007/06/23 20:35

cos(x) - sin(x) = 0



三角関数の合成はできますか?
#そもそも,この問題は sin(x)+cos(x)の段階で合成しておけば簡単,
#実は微分も不要なのもわかりますか?

cos(x) - sin(x) = 2^{1/2} cos( x + (π/4) )
だから
cos( x + (π/4) ) = 0 で x=π/4 または 5π/4
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この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
教科書を見てみたら、三角形の合成の公式がありました。
asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+α)
これを基に
y=sinx+cosxを合成してみると
√2*sin(x+π/4)になりました。
自分の知識だとここから微分して
y'=0になるxを求めるということしかわからないのですが
なぜ、微分が不要になるのでしょうか??
cos(x) - sin(x)=2^{1/2} cos( x + (π/4) )で
右辺はsinでなくcosなのでしょうか??

お礼日時:2007/06/23 20:33

違ってたらごめんなさい。


y'=0 のときというのは、つまりcosx=sinxのときですよね。
0≦x≦2πの範囲で、y=sinxとy=cosxのグラフを書いて、
そのグラフの交点があれば、それがcosx=sinxのときになります。
たぶん135°(π/2?)と215°(3π/2?)が該当するのではないでしょうか。

全然論点がずれますが、functionviewというフリーソフトがおすすめです。
ただし、このソフトに頼り切ると、馬鹿になります。
視覚的にすっきりと理解したいときや、接線の挙動を把握するのに便利です。
参考になれば幸いです。^^
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この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
フリーソフトをダウンロードしてみようと思います。

お礼日時:2007/06/23 20:27

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