最大値・最小値の問題（三角比）

次の関数の最大値・最小値およびその時のθの値を求めよ
y=sin^4θ＋cos^4θ（０°≦θ≦１８０°）

自分はcos^2＝tとおいてy＝2t^2ー2t＋１とやって
平方完成して－１≦cosθ≦１の範囲で考えてt＝1/2の時、最小値1/2になってｔ＝－１の時に最大値５になったのですが、解答を見たらsin^2θ
=ｔと置いていて、最小値は合ってたのですが、最大値がt＝０、１の時最大値１になってて、計算ミスしたのかなぁと思って計算しなおしたのですが何度やってもt＝－１の時に最大値５になってしまうのですが、ただの計算ミスなのでしょうか？後、解答ではt＝０となるのはsin^2θ＝０から　θ＝０°１８０°、ｔ＝１となるのは　sin^2θ=１から　θ＝９０°ｔ＝１/2となるのは・・・・・となっていたのですが、t＝０の時、sinθ＝０だとθ＝０°１８０°、t＝１の時　sinθ＝１だと　θ＝９０°・・・となるのは納得できるのですが、なぜsinが２乗されていてもθが同じなのでしょうか？
長々と長文すみません。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2008/08/06 21:42

cos^2 θ　＝　ｔ

sin^4 θ　＝　（sin^2 θ）^2　＝　（１－ｔ）^2
ということですよね？

＞＞＞ｔ＝－１の時に最大値５になったのですが

ｔ　＝　cos^2 θ　です。
果たして、ｔは－１になることができるでしょうか？



sin^4 θ　＋　cos^4 θ　＝　（１－ｔ）^2　＋　ｔ^2
　＝　２ｔ^2　－　２ｔ　＋　１
　＝　２（ｔ^2　－　ｔ）　＋　１
　＝　２（ｔ^2　－　ｔ　＋　１／４）　－　１／２　＋　１
　＝　２（ｔ　－　１／２）^2　＋　１／２

・　ｔ＝１／２　のとき最小で、最小値は１／２

・　０≦ｔ≦１　であるから、かっこの中を注目すると、
　　ｔ＝０か１　のとき最大で、最大値は１

最後に、
ｔ＝１／２、ｔ＝０か１　が、０≦θ≦１８０　に入っているかを確認。
ｔ＝１／２のとき　cosθ　＝　１／√２　→　第１象限にある→ＯＫ
ｔ＝０のとき、cosθ　＝　１　→　θ＝９０　のときである→ＯＫ


なお、私はときどき計算ミスをするので、上記は検証してください。

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/06 21:48

質問の回答は他の人がやってくれるだろうから、どうせならもっと簡単にやろうよ。

。。。。笑

y＝sin^4θ＋cos^4θ＝（sin^2θ＋cos^2θ）＾2-2*（sin^2θ）*（cos^2θ）＝1－（1/2）*（sin2θ）＾2。
0≦2θ≦2πから、-1≦sin2θ≦1より　1/2≦y≦3/2。
最大値は　2θ＝3π/2、最小値は　2θ＝π/2の時。

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/06 22:04

ミスった。

。。。笑

＞-1≦sin2θ≦1より　1/2≦y≦3/2。最大値は　2θ＝3π/2、最小値は　2θ＝π/2の時。

　　　　　　　　↓

-1≦sin2θ≦1より、0≦（sin2θ）＾2≦1であるから、1/2≦y≦1。最大値は　2θ＝3π/2、π/2、最小値は　2θ＝0、π、の時。

No.4 回答者： info22 回答日時： 2008/08/06 22:38

y={sin(θ)}^4+{cos(θ)}^4

=[{sin(θ)}^2+{cos(θ)}^2]^2-2{sin(θ)}^2{cos(θ)}^2
=1-(1/2){2sin(θ)cos(θ)}^2
=1-(1/2){sin(2θ)}^2
=1-(1/4){1-cos(4θ)}
=(3/4)+(1/4)cos(4θ)

cos(4θ)=1のときyの最大値(3/4)+(1/4)=1
この時のθは 0°≦θ≦180°から0°≦4θ≦720°であるから
　4θ=0°,360°,720°∴θ=0°,90°,180°

cos(4θ)=-1のときyの最小値(3/4)-(1/4)=1/2
この時のθは 0°≦θ≦180°から0°≦4θ≦720°であるから
　4θ=180°,540°∴θ=45°,135°
となります。

No.5 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/08/06 23:11

#4です。

質問者さんのやり方の検証
訂正しながら正解を書きます。
> 自分はcos^2(θ)＝t(0≦t≦1…■)とおいて
> y=2t^2-2t＋１とやって
> 平方完成して
y=2(t^2-t)+1=2{t-(1/2)}^2+(1/2)
> 0≦t≦1の範囲で考えて
> t＝1/2の時、最小値1/2になって
>ｔ＝0または1 の時に最大値1になる
<< t=-1とはならないですよ。ここが間違いです。>>
>>t＝－１…◆の時に最大値５になってしまうのですが、ただの計算ミスなのでしょうか？
単純な勘違いです。計算ミスではないです。
このような間違いを防ぐには、変数をθからtに置き換えた■のところで
置き換えた後のtの範囲を必ず明記することを実行することです。
そうすれば◆のところで t=cos^2(θ)=-1とおくようなミスを防止できますね。

まず、自分のやった解答の間違い箇所を正しく認識し、そして正解に持っていくことが大切です。自分の解答が間違っていたら、それをほっておいて、解答集の解答に走る事は自分の実力にはなりません。
問題の解答は何通りもあります。A#4のように。
自分のやり方で、正解を作れる事が一番重要で、自分の実力になります。

よく考えて、必ずこの方法で解けるんだという信念をもって取り組む事。それが確実にできるようになったら、よりスマートな別解と比較して消化するようにするといいかと思います。