x^2=i

ふとした疑問です。
x^2=i を解いたらどうなるか、、

私はx=±√i と思ったんですが、
√の中にiが残ることは解答としていいのでしょうか？
それとも式のたて方がおかしいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/03/15 06:02

　虚数単位の平方根は、複素数に展開できるので、次のように書きます。

　　(+i)^(1/2)＝±(1+i)/√2　　⇒　ｘ＝±(1+i)/√2
　　(-i)^(1/2)＝±(1-i)/√2

　解き方としては、オイラーの公式を利用します。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …

　　i＝cos(π/2+2nπ)+i・sin(π/2+2nπ)　＝exp{πi(1/2+2n)}　　（ｎ：整数）
　∴(i)^(1/2)＝exp{πi(1/4+n)}　＝cos(π/4+nπ)+i・sin(π/4+nπ)　＝±(1+i)/√2

　　-i＝cos(3π/2+2nπ)+i・sin(3π/2+2nπ)　＝exp{πi(3/2+2n)}
　∴(-i)^(1/2)＝exp{πi(3/4+n)}　＝cos(3π/4+nπ)+i・sin(3π/4+nπ)　＝±(1-i)/√2

　この公式を利用すれば、複素数の平方根なども計算することができます。

この回答へのお礼

なるほど、スッキリです。ありがとうございます。
オイラーの公式自体知ってるのに使えていない自分に
ヘコんでおりますが、、
自分で気づけるようにしなければ、と思いました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/03/15 07:08

No.6 回答者： sanori 回答日時： 2008/03/16 06:00

お邪魔します。

ｉの絶対値が１なので、図解で簡単に求めることができます。

絶対値が１の複素数ｘ＋ｉｙをＸ－Ｙ座標で表すとき、
ｘ＋ｉｙの掛け算、割り算、べき乗、平方根、立方根などは、
すべて、原点（０，０）を中心とする半径１の円（単位円と呼ぶ）の上の移動で表すことができます。
（実は、オイラーの公式や高校数学で習う一次変換の回転行列と同じことを言っていますが。）

実数を指数としたべき乗・ｎ乗根や、絶対値が１の数による掛け算・割り算については、座標（１，０）を始点とした回転で表されます。

たとえば、１にｉをかけるとｉになりますが、
これは、（１，０）から（０，１）まで９０度回転したことと同じです。

また、たとえば、
１の立方根は、３６０度の倍数を３分の１にしたのと同じことですから、
０度、１２０度、２４０度が相当します。
０度は、（１，０）→　１　＋　０ｉ　＝　１
１２０度は、（－１／２，√３／２）　→　－１／２　＋　√３ｉ／２
２４０度は、（－１／２，－√３／２）　→　－１／２　＋　√３ｉ／２
これら３つが、１の立方根です。

１の４乗根は、同じやり方で、
０度→１、９０度→ｉ、１８０度→－１、２７０度→－ｉ
と求めることができます。



では本題。

ｉは、座標で言えば、（０，１）。
これは、（１，０）から、９０度＋３６０ｎ度　だけ回転した位置です。
ですから、ｉの平方根は、その半分の回転である、（９０＋３６０ｎ）×１／２度の位置に相当します。

（９０＋３６０ｎ）×１／２　＝　４５　＋　１８０ｎ
ｎ＝０　のとき、４５度
ｎ＝１　のとき、２２５度
ｎ＝２　のとき、４５度＋３６０度　（ｎ＝０と同じ）
ｎ＝３　のとき、２２５度＋３６０度　（ｎ＝１と同じ）
・・・・・

というわけで、
４５度　と　２２５度　が、ｉの平方根に相当します。

単位円の円周上で（１，０）から・・・
・４５度回転したところの座標は、（１／√２，１／√２）
・２２５度回転したところの座標は、（－／√２，－１／√２）

よって、ｉの平方根は、
±（１／√２ ＋ １／√２・ｉ）　＝　±（１ ＋ ｉ）／√２
です。

（　±（１ ＋ ｉ）／√２　）^2
　＝　（１＋２ｉ－１）／２
　＝　ｉ

No.5 回答者： run34ricky 回答日時： 2008/03/15 16:35

複素数の平方根は、以下の公式で求まります。

√（ｘ±ｉｙ）＝√（（√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＋ｘ）÷２）±ｉ√（（√（ｘ＾２＋ｙ＾２）－ｘ）÷２）
ａ＾ｂは、ａのｂ乗です。

ｘ＝０、ｙ＝１なので

√ｉ
＝√（（√（０＾２＋１＾２）＋０）÷２）＋ｉ√（（√（０＾２＋１＾２）－１）÷２）
＝√（（√１＋０）÷２）＋ｉ√（（√１－０）÷２）
＝√（１／２）＋ｉ√（１／２）

＜＜検算＞＞
（√（１／２）＋ｉ√（１／２））＾２
＝（√（１／２））＾２＋２×√（１／２）×ｉ√（１／２）＋（ｉ√（１／２））＾２
＝１／２＋２×１／２×ｉ－１／２
＝ｉ

参考URL：http://www5.atwiki.jp/coupledaysoff/pages/25.html

No.4 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/03/15 08:36

複素数体 C は代数的閉体なので、あらゆる方程式の解がやはり複素数になります。

しかし、その解が代数的に加減乗除と累乗根で表現できるとは限りません。今回の場合は考えている方程式が「単純」なものであったので、たまたま表現可能でした。

No.3 回答者： nettiw 回答日時： 2008/03/15 07:13

　x^2=i

　　x=a+b・i　＜a,bは実数。＞

　　(a+b・i)^2=i
(a^2)+2ab・i-(b^2)=i
[(a^2)-(b^2)]+[2ab]・i=[0]+[1]・i

　(a^2)-(b^2)=0
　　　　　　2ab=1

　(a+b)(a-b)=0
　　　　　　　b=(1/2a)　＜a≠0。＞

（１）
　a+b=0
　a+(1/2a)=0
　2(a^2)+1=0　不適。

（２）
　a-b=0
　a-(1/2a)=0
　2(a^2)-1=0　
　　　(a^2)=1/2
　　　　　　a=(1/√2), (-1/√2)

　よって、
x=(1/√2)+(1/√2)・i, (-1/√2)+(-1/√2)・i　。

No.2 回答者： phusike 回答日時： 2008/03/15 06:15

x^2 = i を解いて、 x = ±√i とするのは、まあ間違ってはいませんが、

そもそも√iとは一体何なのかに全く触れていませんし、
x^2 = 4 を解いて、 x = ±√4 とするようなものです。

複素数の積について考察してみましょう。
z = x + iy は、極表示とよばれる z = r( cos θ + i sin θ ) という記法でも表せます。
ここで、もちろん x = r cos θ, y = r sin θ です。
z = r( cos α + i sin α ),
w = s( cos β + i sin β ) とおきますと、
zw = rs[ cos(α+β) + i sin(α+β) ]
となります。
加法定理を用いて実際に計算して確かめてみて下さい。

ここで、z = w の時、
z^2 = zw = r^2( cos 2α + i sin 2α ) です。
従って、 z^2 = r( cos θ + i sin θ ) を満たすとき、
z = √r[ cos(θ/2) + i sin(θ/2) ] と考えられます。

さて、 i = cos π ( 2n + 1/2 ) + i sin π ( 2n + 1/2 ) ですから、
z^2 = i の時 z = cos π ( n + 1/4 ) + i sin π ( n + 1/4 ) ですね。
通常用いる表記に直せば、 z = 1/√2 ± (1/√2) i です。

この辺りの議論は、複素平面を学べばよりすっきりと理解できます。

この回答へのお礼

複素平面は一時期かじった程度で回転やらスカラー倍、
ベクトルっぽいなぁ程度の理解しかしておりません、、
オイラーの公式も加法定理を覚える手助けぐらいです。
全く初めて見るわけじゃないんですが、、
公式含め基本的なところからやり直そうと思います。
教えていただき、理解できただけによくよく考えると
自分の未熟さが恥ずかしい限りです。　
ありがとうございました。

お礼日時：2008/03/15 07:22