「ブロック機能」のリニューアルについて

ふとした疑問です。
x^2=i を解いたらどうなるか、、

私はx=±√i と思ったんですが、
√の中にiが残ることは解答としていいのでしょうか?
それとも式のたて方がおかしいのでしょうか?

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A 回答 (6件)

 虚数単位の平方根は、複素数に展開できるので、次のように書きます。



  (+i)^(1/2)=±(1+i)/√2  ⇒ x=±(1+i)/√2
  (-i)^(1/2)=±(1-i)/√2

 解き方としては、オイラーの公式を利用します。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …

  i=cos(π/2+2nπ)+i・sin(π/2+2nπ) =exp{πi(1/2+2n)}  (n:整数)
 ∴(i)^(1/2)=exp{πi(1/4+n)} =cos(π/4+nπ)+i・sin(π/4+nπ) =±(1+i)/√2

  -i=cos(3π/2+2nπ)+i・sin(3π/2+2nπ) =exp{πi(3/2+2n)}
 ∴(-i)^(1/2)=exp{πi(3/4+n)} =cos(3π/4+nπ)+i・sin(3π/4+nπ) =±(1-i)/√2

 この公式を利用すれば、複素数の平方根なども計算することができます。
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この回答へのお礼

なるほど、スッキリです。ありがとうございます。
オイラーの公式自体知ってるのに使えていない自分に
ヘコんでおりますが、、
自分で気づけるようにしなければ、と思いました。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/03/15 07:08

お邪魔します。



iの絶対値が1なので、図解で簡単に求めることができます。

絶対値が1の複素数x+iyをX-Y座標で表すとき、
x+iyの掛け算、割り算、べき乗、平方根、立方根などは、
すべて、原点(0,0)を中心とする半径1の円(単位円と呼ぶ)の上の移動で表すことができます。
(実は、オイラーの公式や高校数学で習う一次変換の回転行列と同じことを言っていますが。)

実数を指数としたべき乗・n乗根や、絶対値が1の数による掛け算・割り算については、座標(1,0)を始点とした回転で表されます。

たとえば、1にiをかけるとiになりますが、
これは、(1,0)から(0,1)まで90度回転したことと同じです。

また、たとえば、
1の立方根は、360度の倍数を3分の1にしたのと同じことですから、
0度、120度、240度が相当します。
0度は、(1,0)→ 1 + 0i = 1
120度は、(-1/2,√3/2) → -1/2 + √3i/2
240度は、(-1/2,-√3/2) → -1/2 + √3i/2
これら3つが、1の立方根です。

1の4乗根は、同じやり方で、
0度→1、90度→i、180度→-1、270度→-i
と求めることができます。



では本題。

iは、座標で言えば、(0,1)。
これは、(1,0)から、90度+360n度 だけ回転した位置です。
ですから、iの平方根は、その半分の回転である、(90+360n)×1/2度の位置に相当します。

(90+360n)×1/2 = 45 + 180n
n=0 のとき、45度
n=1 のとき、225度
n=2 のとき、45度+360度 (n=0と同じ)
n=3 のとき、225度+360度 (n=1と同じ)
・・・・・

というわけで、
45度 と 225度 が、iの平方根に相当します。

単位円の円周上で(1,0)から・・・
・45度回転したところの座標は、(1/√2,1/√2)
・225度回転したところの座標は、(-/√2,-1/√2)

よって、iの平方根は、
±(1/√2 + 1/√2・i) = ±(1 + i)/√2
です。

( ±(1 + i)/√2 )^2
 = (1+2i-1)/2
 = i
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複素数の平方根は、以下の公式で求まります。


√(x±iy)=√((√(x^2+y^2)+x)÷2)±i√((√(x^2+y^2)-x)÷2)
a^bは、aのb乗です。

x=0、y=1なので

√i
=√((√(0^2+1^2)+0)÷2)+i√((√(0^2+1^2)-1)÷2)
=√((√1+0)÷2)+i√((√1-0)÷2)
=√(1/2)+i√(1/2)

<<検算>>
(√(1/2)+i√(1/2))^2
=(√(1/2))^2+2×√(1/2)×i√(1/2)+(i√(1/2))^2
=1/2+2×1/2×i-1/2
=i

参考URL:http://www5.atwiki.jp/coupledaysoff/pages/25.html
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複素数体 C は代数的閉体なので、あらゆる方程式の解がやはり複素数になります。



しかし、その解が代数的に加減乗除と累乗根で表現できるとは限りません。今回の場合は考えている方程式が「単純」なものであったので、たまたま表現可能でした。
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 x^2=i



  x=a+b・i <a,bは実数。>

  (a+b・i)^2=i
(a^2)+2ab・i-(b^2)=i
[(a^2)-(b^2)]+[2ab]・i=[0]+[1]・i

 (a^2)-(b^2)=0
      2ab=1

 (a+b)(a-b)=0
       b=(1/2a) <a≠0。>

(1)
 a+b=0
 a+(1/2a)=0
 2(a^2)+1=0 不適。

(2)
 a-b=0
 a-(1/2a)=0
 2(a^2)-1=0 
   (a^2)=1/2
      a=(1/√2), (-1/√2)

 よって、
x=(1/√2)+(1/√2)・i, (-1/√2)+(-1/√2)・i 。
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x^2 = i を解いて、 x = ±√i とするのは、まあ間違ってはいませんが、


そもそも√iとは一体何なのかに全く触れていませんし、
x^2 = 4 を解いて、 x = ±√4 とするようなものです。

複素数の積について考察してみましょう。
z = x + iy は、極表示とよばれる z = r( cos θ + i sin θ ) という記法でも表せます。
ここで、もちろん x = r cos θ, y = r sin θ です。
z = r( cos α + i sin α ),
w = s( cos β + i sin β ) とおきますと、
zw = rs[ cos(α+β) + i sin(α+β) ]
となります。
加法定理を用いて実際に計算して確かめてみて下さい。

ここで、z = w の時、
z^2 = zw = r^2( cos 2α + i sin 2α ) です。
従って、 z^2 = r( cos θ + i sin θ ) を満たすとき、
z = √r[ cos(θ/2) + i sin(θ/2) ] と考えられます。

さて、 i = cos π ( 2n + 1/2 ) + i sin π ( 2n + 1/2 ) ですから、
z^2 = i の時 z = cos π ( n + 1/4 ) + i sin π ( n + 1/4 ) ですね。
通常用いる表記に直せば、 z = 1/√2 ± (1/√2) i です。

この辺りの議論は、複素平面を学べばよりすっきりと理解できます。
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この回答へのお礼

複素平面は一時期かじった程度で回転やらスカラー倍、
ベクトルっぽいなぁ程度の理解しかしておりません、、
オイラーの公式も加法定理を覚える手助けぐらいです。
全く初めて見るわけじゃないんですが、、
公式含め基本的なところからやり直そうと思います。
教えていただき、理解できただけによくよく考えると
自分の未熟さが恥ずかしい限りです。 
ありがとうございました。

お礼日時:2008/03/15 07:22

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