A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
複素数平面を知ってますか?知っているのなら,もっと簡単な解法があります。
z=cosx+isinx とおいて,z+z^2+z^3を計算してみてください。もちろんド・モアブルの定理を使って。そしたらその虚部がsinx+sin2x+sin3x ですね。それが0になってほしいのだから,つまりz+z^2+z^3が実数であればいいわけです。一般に,複素数が実数であるための条件は,自分とその共役複素数とが等しいということなので,それを使って計算すればいいです。途中で,|z|=1,つまりzとzの共役複素数をかけると1になる,という条件を使います。結局,答は#4さんの結果で正解です。
No.4
- 回答日時:
回答指針も皆さんからでていますね。
更なる参考がいりそうですね。
親切すぎかな?
sinx+sin2x+sin3x=0を解く問題
ですかね。
以下の公式ぐらいがいるよね。
sin(2x)=2sin(x)cos(x),
cos(2x)=cos^2x-sin^2(x)
1=cos^2x+sin^2(x)
sin3x=sin(2x+x)=sin(2x)cos(x)+cos(2x)sin(x)
=2sin(x)cos^2(x)+cos^2(x)sin(x)-sin^3(x)
=sinx(3cos^2(x)-sin^2(x))
=sinx(3cos^2(x)-1+cos^2(x))
=sinx(4cos^2(x)-1)
あってるかな。
と整理すれば、
sinx+sin2x+sin3x=sinx(1+2cos(x)+4cos^2(x)-1)
=2sinx(cos(x)+cos^2(x))
=2sin(x)*cos(x)(1+2cos(x))
これは、場合分けで考える必要がありますね。
0≦x<2π でしたね。
sin(x)=0 の時 x=0、π
cos(x)=0 の時 x=π/2、3π/2
1+2cos(x)=0
cos(x)=-1/2, の時 x=2π/3, 4π/3
だからまとめると、
x=0,π/2, 3π/2, 2π/3, π, 4π/3
なんかになりそうですね。
解はいっぱいありますね。
取りこぼしが無いか要確認ですね。
参考までにね。
No.3
- 回答日時:
>加法定理をつかうのですか?
広い意味ではそうですね.
実際はいろいろな方針がありそうです.
最低できるべきは
<1>
sin2X,sin3Xを2倍角(単に倍角ともいう)の公式,3倍角の公式で書きかえると
sinX(くくった残りの式)=0
sinX(cosXのみの式)=0
とできる.
<2>
>(sinx+sin3X)+sin2X=0としてまとめるのかな?
和積の公式より sinx+sin3X=2sin2XcosX なので
(←加法定理から作れるように)
(与式)⇔sin2X(2cosX+1)=0
こちらの方がいいかも.
他にも親切な方が教えてくださるでしょう.
No.2
- 回答日時:
No1の者ですが,教科書とかありませんか?
加法定理は下記などに出ています.
http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/sankaku …
http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/kahou.html
sin2X=sin(X+X)にすれば,加法定理が使えますよね.
同じように,sin3X=sin(2X+X)にして加法定理を使います.2Xが出てきたら,またX+Xにします.
そうすると,全てsinX, cosXの式になるはずです.
ぼくの計算があっていれば,共通項が消去できて,とても簡単な式になりますよ.
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