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数学Ⅱの三角関数の合成のαの値について質問です。

y = -2sin2x + 2cos2x + 3 の最大値と最小値を求めよ。

ただし、0 ≦ x ≦ π/2

という問題があります。

三角関数の合成より、

2√2sin(2x + α) + 3

となると思います。

αの値は

sinα = 1/√2

cosα = - 1/√2

より

3/4πでしょうか?

-1/4πでしょうか?

どちらもあり得ると思うのですが。

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A 回答 (4件)

どうしたら π/4が出てくるのかを考えてみました。



y=-2sin2x +2cos2x +3
=(-2√2)sin2x・(√2 /2) +(2√2)cos2x・(√2 /2) +3
=(-2√2)sin2x・cos(π/4) +(2√2)cos2x・sin(π/4) +3

ここで並べ替えて、

=(2√2)cos2x・sin(π/4) +(-2√2)sin2x・cos(π/4) +3
=(2√2)sin(π/4)・cos2x +(-2√2)cos(π/4)・sin2x +3
=(2√2){sin(π/4)・cos2x -cos(π/4)・sin2x} +3

sin(a-b)=sina・cosb -cosa・sinb より

=(2√2)sin(π/4 -2x) +3

このように、ようやくπ/4が出てきたわけですが、
sinの角度のカッコ内に -2x が出てきてしまいます。
しかし解答としては間違っていません。
グラフを描いてみればわかると思いますが、
y軸に対して線対称で、逆回りになっているだけです。

さらにここで -sinθ=sin(-θ) を利用して書き直してみれば、

(2√2)sin(π/4 -2x) +3
=-(2√2)sin(2x -π/4) +3

となりますが、これはsinがx軸に線対称になったものに
マイナスを付けただけとなります。
複雑にしてきましたが、
どちらの式もxの角度ととりうる数値が同じになります。

おそらくここが不思議に思っている部分なのでしょうね。
sinやcosでの表し方は一通りとは限りませんよ。


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ただし今回の質問の場合、
2√2sin(2x + α) + 3
という形で聞かれているわけだから、
α=3π/4 が正解となります。
条件が付いたから解答も制限されたわけですね。
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実際に計算してみましょう。



y=-2sin2x +2cos2x +3
=(-2√2)sin2x・(√2 /2) +(2√2)cos2x・(√2 /2) +3
=(2√2)sin2x・(-√2 /2) +(2√2)cos2x・(√2 /2) +3
=(2√2){sin2x・(-√2 /2) +cos2x・(√2 /2)} +3

このとき、cosα=-√2 /2, sinα=√2 /2 を満たすαは
α=3π/4 となるから、

=(2√2){sin2x・cos(3π/4) +cos2x・sin(3π/4)} +3

sin(a+b)=sina・cosb +cosa・sinb より

=(2√2)sin(2x +3π/4) +3

となります。
したがって -1≦sin(2x +3π/4)≦1 より
yの最大値は2√2 +3、最小値が-2√2 +3 だとわかります。


では、式の途中で
sin(a-b)=sina・cosb -cosa・sinb
を使った場合ではどうなるでしょうか。

y=-2sin2x +2cos2x +3
=(-2√2)sin2x・(√2 /2) +(2√2)cos2x・(√2 /2) +3
=(2√2)sin2x・(-√2 /2) -(2√2)cos2x・(-√2 /2) +3
=(2√2){sin2x・(-√2 /2) -cos2x・(-√2 /2)} +3

このとき、cosα=-√2 /2, sinα=-√2 /2 を満たすαは
α=5π/4 となるので

=(2√2){sin2x・cos(5π/4) -cos2x・sin(5π/4)} +3

sin(a-b)=sina・cosb -cosa・sinb より

=(2√2)sin(2x -5π/4) +3

ここで、0 ≦ x ≦ π/2 ということから、
-5π/4 =-5π/4 +2π =3π/4
でもあるので、

=(2√2)sin(2x +3π/4) +3

とできます。
この場合でも上で計算した式と同じになりました。
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質問の答えは、既に在りますから省略します。



但し、「3/4πでしょうか?」この書き方は × ですよ。
「3/4π」では、「(4π)分の(3) 」と解釈されます。
「3π/4」か「(3/4)π」としないと。

若し、「(4π)分の(3) 」の心算ならば、「3/(4π)」。
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α=-π/4だとsinα=-1/√2,cosα=1/√2ですよ。


-π<α≦πにおいてはα=3π/4に限定されます。
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