微分の最大・最小

❶ t=sinx－cosxとするとき、sin2xをtで表せ。

❷ f(x)=sin^3x－cos^3xをtで表し、0≦x≦2πのときのf(x)の最大値と、そのときのxの値を求めよ。



答えは、
❶ １ーｔ^2
❷ ｘ＝π/2，πのとき最大値１

考え方も詳しく教えてください。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info222_ 回答日時： 2014/11/12 01:01

❶ t=sin(x)－cos(x)とするとき、sin2xをtで表せ。

sin(2x)=2sin(x)cos(x)=1-(1-2sin(x)cos(x))
=1-{(sin(x))^2+(cos(x))^2-2sin(x)cos(x)}
=1-{sin(x)-cos(x)}^2
=1-t^2

❷ f(x)=sin^3(x)－cos^3(x)をtで表し、0≦x≦2πのときのf(x)の最大値と、そのときのxの値を求めよ。
f(x)=(sin(x)-cos(x)){(sin(x)-cos(x))^2+3sin(x)cos(x)}
=t{t^2 +(3/2)(1-t^2)}
=-(1/2)t(t^2 -3)
=g(t) とおく。
t=sin(x)-cos(x)=-(√2)cos(x+(π/4))
0≦x≦2πのとき π/4≦x+(π/4)≦9π/4 なので -√2≦t≦√2
g(t)=-(1/2)(t^3 -3t) (-√2≦t≦√2)
g'(t)=-(3/2)(t^2 -1)=-(3/2)(t-1)(t+1)
g'(t)=0のときのtを求めると t=-1, 1

g(t)のtの3次の項の係数-1/2<0
g(-√2)=-(√2)/2<g(1)=1
であるから
∴最大値g(1)=1(x=π/2,π) (このときx=π/2, π)


>答えは、
>❶ １ーｔ^2
>❷ ｘ＝π/2，πのとき最大値１
と一致しましたね。

この回答へのお礼

納得しました！
ありがとうございました。

お礼日時：2014/11/12 20:47

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2014/11/11 21:13

❶ t=sinx－cosxとするとき、sin2xをtで表せ。

sin2x=2sinxcosx

t^2=sin^2x-2sinxcosx+cosx^2=1-2sinxcosx=1-sin2x

⇒ sin2x=1-t^2

❷ f(x)=sin^3x－cos^3xをtで表し、0≦x≦2πのときのf(x)の最大値と、そのときのxの値を求めよ。

f(x)=(sinx-cosx)(sin^2x+sinxcosx+cos^2x)=t(1+sin2x/2)=t(1+(1-t^2)/2)

=t(3-t^2)/2＝g(t) (1)

t=sinx－cosx=√2sin(x-π/4)より

0≦x≦2πでは

-√2≦t≦√2 (2)

(2)の変域における（1）の変化を調べる。

g(t)をtで微分して

g'(t)=-(3/2)(t^2-1)

t=-1で極小、極小値＝-1、t=1で極大、極大値＝1

極小値、極大値を与えるtは（2）の変域内に入っている。増減表とg(t)のグラフを書くこと。

グラフから解るように極小値、極大値は最小値、最大値になっている。

t=1のとき最大値1をとる。

t=sinx－cosx=√2sin(x-π/4)

のグラフ（横軸x,縦軸t)をしっかり描くこと。

t=1となるxは

x=π/2,π

No.1 回答者： marsand 回答日時： 2014/11/11 18:37

(1)

t^2=(sinx-cosx)^2
=sin^2x-2sinxcosx+cos^2x
=1-2sinxcosx
2sinxcosx=1-t^2

（なお、sin^2xは、「サインエックスの二乗」です）

sin^2x+cos^2x=1　という公式を用いて解く問題は頻出です。
この問も、頻出ですので、解き方を覚えておきましょう。

(2)
sin^3x-cos^3x=(sinx-cosx)(sin^2x+sinxcosx+cos^2x)
t=sinx-cosxだから、
sin^3x-cos^3x=t {1+1/2(1-t^2)}
よって、
f(t)= t{1+1/2(1-t^2)}

ここで、
t=sinx-cosx=√2 sin(x-π/4)
0≦x≦2πだから、-π/4≦x-π/4≦7/4π
　　　　　　　　 -1≦ sin(x-π/4)≦1
　　　　　　　　 -√2≦√2 sin(x-π/4)≦√2
つまり、-√2≦ｔ≦√2

f(t)= t{1+1/2(1-t^2)｝
=-1/2t^3+3/2t

・・・
すみません、疲れました。
４，５年ぶりに解いたので、違っていたらすみません。

この式を微分の時と同じように解いて、-√2≦ｔ≦√2という範囲に注意して考えると最大値を求めることができます。

また、最大値をとる時のｘの値は、最大値をとる時のtの値＝√2 sin(x-π/4)　を解くとｘの値が出てきます。


今回のような、三角関数と微分を融合した問題は頻出で、入試（主に２次試験）にもかなり出てきますので、解法を覚えておきましょう。
数学で良く出てくる問題は解法を覚える必要がありますし、数学が出来る人の大半は解法をかなり覚えています。
つまり、数学は暗記の部分が大きいです。
学校で使用している問題集の解法をしっかりと覚えると、点数も取れるようになりますし、応用問題も結局は今回のような問題の解法を覚えないと出来ないようになっています。

この回答へのお礼

参考になりました！
これを機会に覚えようと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2014/11/12 20:49