数学が得意な人に質問です。この問題の⑶を教えてください。0≦θ≦π/2 のとき関数f(θ)=2√3s

数学が得意な人に質問です。この問題の⑶を教えてください。0≦θ≦π/2 のとき関数f(θ)=2√3sinθcosθ-7sin^2θ-cos^2θについて次の問いに答えよ。
(1)f(θ)をsin 2θ, cos 2θを用いて表せ。
(2)f(θ)のとり得る値の範囲を求めよ。
(3) f(θ)が最大値をとるときのθを,θ1とするとき,
sinθ1の値を求めよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/09/11 21:16

2乗なのか 2θ なのか、非常に紛らわしいので、カッコなどを使って誤解のないように書いてください。

f(θ) = 2√3 * sin(θ) * cos(θ) - 7 * sin^2(θ) - cos^2(θ)

ですね？

(1) ここでは、
　2 * sin(θ) * cos(θ) ＝ sin(2θ)
　cos^2(θ) - sin^2(θ) = cos(2θ) = 1 - 2 * sin^2(θ)
を使って

f(θ) = √3 [ 2 * sin(θ) * cos(θ) ] - 7 * sin^2(θ) - [ 1 - sin^2(θ) ]
　　= √3 * sin(2θ) - 6 * sin^2(θ) - 1
　　= √3 * sin(2θ) + 3 [ cos(2θ) - 1 ] - 1
　　= √3 * sin(2θ) + 3 * cos(2θ) - 4　　　　　①

ここまでは合っているようですね。

(2) ①のうち
　√3 * sin(2θ) + 3 * cos(2θ) = 2√3 [ (1/2)sin(2θ) + (√3 /2)cos(2θ) ]
= 2√3 * sin(2θ + パイ/3)
なので、

f(θ) = 2√3 * sin(2θ + パイ/3) - 4 　　　　②

0 ≦ θ ≦ パイ/2 なので
　0 ≦ 2θ ≦ パイ
→　パイ/3 ≦ 2θ + パイ/3 ≦ (4/3)パイ　　　③
ということなので、この範囲で②の範囲を求めます。

③の範囲では
　-√3 /2 ≦ sin(2θ + パイ/3) ≦ 1
なので
　-3 ≦ 2√3 * sin(2θ + パイ/3) ≦ 2√3
→　-7 ≦ 2√3 * sin(2θ + パイ/3) - 4 ≦ 2√3 - 4

よって
　-7 ≦ f(θ) ≦ 2√3 - 4

ここまでもできていますね。

(3) 求めるのは sin^2(θ1) ではなく sin(θ1) でよいのですよね？

f(θ) が最大値をとるのは
　sin(2θ1 + パイ/3) = 1
のときです。つまり
　2θ1 + パイ/3 = パイ/2
→　2θ1 = パイ/6
→　θ1 = パイ/12

このとき
　sin(θ1) = sin(パイ/12)
= sin(パイ/3 - パイ/4)
= sin(パイ/3)*cos(パイ/4) - cos(パイ/3)*sin(パイ/4)
= (√3 /2)*(√2 /2) - (1/2)*(√2 /2)
= √6 /4 - √2 /4
＝ (√6 - √2) /4

No.1 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/09/11 20:39

写真の解答はあなたのではなく、分からない部分があるため、そこを教えてほしいということ？一応全部解説するね。

f(θ)=2√3sin(2θ+π/3)-4の最大値を考えるのが難しいようなら、まずはもっと簡単な形で考えよう。
つまり、sinθの最大値とその時のθを考える。

sinθはθ=π/2のとき、最大値1となる。

ではsin2θはどうか。
sin2θはやはり最大値は1であり、その時のθはというと、sinπ/2=1となることを考えると、
sin2θ=sinπ/2
2θ=π/2
θ=π/4となる

sin(2θ+π/3)でも同様に
2θ+π/3=π/2
2θ=π/6　　…(＊)
θ=π/12
のときに最大値1となる

f(θ)=2√3sin(2θ+π/3)-4もsin(2θ+π/3)の部分だけが変化するということに着目すると、f(θ)はθ=π/12のとき、最大となることが分かる。
よってθ1=π/12

sinθ1=sinπ/12
をsinや偏角を使わずに、実数で表したいが、普通に教科書に載っているようなやつは、偏角θ=0,π/6,π/4,π/3…のときのsin,cos,tanの値である。つまり、このままではθ=π/12のときのsinの値はわからない。
しかし、(＊)から分かるように、2θ1=π/6である。つまり、sinθ1をsin2θ1かcos2θ1かtan2θ1を使って表すことが出来れば、値を求められるということである。

ここで、倍角の公式cos2θ=1-2sin^2(θ)を使って
sin^2(θ)=(1-cos2θ)/2
と変形し、あとは写真の解答の通り。

説明がくどいかな。