1/√2(sinθ-cosθ)=sin(θ-π/4)と教科書に載ってい

1/√2(sinθ-cosθ)=sin(θ-π/4)と教科書に載っているのですがどういった導き方ですか？分かりやすく教えていただけたら幸いです。

No.2 ベストアンサー 回答者： toriton_blue 回答日時： 2010/08/13 14:29

三角関数の合成というものを習っていれば解くことができます

三角関数の合成とは
a×sin x+b×cos x=√（a^2+b^2)sin(x+α)
ただし、
cos α=a/√(a^2+b^2)
sin α=b/√(a^2+b^2)
というものです

ここでa=1,b=-1なので、
(sin θ-cos θ)=√2sin(θ+α)

次にαを求めます
合成関数の式より
sinα=1/√2
cosα=-(1/√2)
上の二つを満たすαはπ/4

よって、(sinθ-cosθ)=√2sin(θ-π/4)

元の式に代入すれば√2は約分できるので
1/√2(sinθ-cosθ)=sin(θ-π/4)

つまり、この三角関数の合成というものに数字を当てはめてやれば解くことができます

No.1 回答者： eauSak 回答日時： 2010/08/13 14:23

三角関数の合成公式

asinθ+bcosθ=√(a^2+b^2)sin(θ+α)
sinα=b/√(a^2+b^2)
cosα=a/√(a^2+b^2)
を使うんでしょうね。

a=1/√2,b=-1/√2
なので、α=-π/4

なお、
sin(θ-π/4)
=sinθcos(π/4)-sin(π/4)cosθ
=sinθ/√2-cosθ/√2
=1/√2(sinθ-cosθ)

でも導けます。