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y=sinx (0<x<2π)をy軸回転させた時の体積の出し方を詳しめに教えていただけませんか?
どうかよろしくお願いいたします。
分からなくて困っています。

質問者からの補足コメント

  • ご回答ありがとうございます。言葉足らずで失礼いたしました。質問者様がおっしゃっているような問題です。
    式はたぶんあっているのですが、答えがあっているか自信がなく、、もしよければ解が何になるかも教えていただけますか?
    厚かましく申し訳ありません。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/07/03 11:26
  • ご回答ありがとうございます。
    バウムクーヘン法というのですね!とても参考にしました!
    もしよければこの問題の答えも教えていただけますか?厚かましく申し訳ございません。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/07/03 11:28
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A 回答 (4件)

No.1&2です。



なるほど、「バウムクーヘン」ですね。

「x~x+dx の部分」をぐるっと一周させると、
 高さ:|sin(x)|、幅(円周):2パイx、厚さ:dx
の「バウムクーヘンの一層分」の体積になります。
「バウムクーヘン」の「一層分」を、丸まっているものを横に平らに伸ばしたイメージです。

このxを、0~2パイ にわたって積分する(「バウムクーヘン」の各層の体積を足し合わせる)ことにより
 V = ∫[0~2パイ][ 2パイx |sin(x)| ]dx
  = 2パイ∫[0~パイ][ x*sin(x) ]dx + 2パイ∫[パイ~2パイ][ -x*sin(x) ]dx
  = 2パイ∫[0~パイ][ x*sin(x) ]dx - 2パイ∫[パイ~2パイ][ x*sin(x) ]dx

ここで、「部分積分」を使うと
  ∫x*sin(x)dx = ∫x*( -cos(x) )' dx = -x*cos(x) + ∫x'*cos(x)dx
        = -x*cos(x) + ∫cos(x)dx
        = -x*cos(x) + sin(x)
ですから
 V = 2パイ[ -x*cos(x) + sin(x) ][0~パイ] - 2パイ[ -x*cos(x) + sin(x) ][パイ~2パイ]
  = 2パイ[ パイ + 0 ] - 2パイ[ -パイ - 0 ]
  = 4パイ^2

かな?
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この回答へのお礼

お返事大変遅くなり失礼いたしました。とても参考にさせていただきました!なんども補足で説明をしていただいて、感謝しかありません。ほんとうにありがとうございます。

お礼日時:2017/07/04 10:39

ヒント



http://mathtrain.jp/baumu

バウムクーヘン法を使う。
この回答への補足あり
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No.1です。



分かっているとは思いますが、「x~x+dx の部分」の高さ「sin(x)」は「正の値」でないといけませんから、パイ≦x≦2パイ の範囲では「|sin(x)| = -sin(x)」ということになります。
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「y=sinx (0<x<2π)をy軸回転」させても、「曲面」にしかなりませんよ。

「体積」を持ちません。

「y=sin(x) (0≦x≦2π) と x 軸とで囲まれる部分をy軸回転」か何かではありませんか?

x~x+dx の部分を「y軸回転」させたものの体積を求め、それを x=0~2パイ で積分すればよいです。
「x~x+dx の部分」は、高さ「sin(x)」、幅「dx」で、「y軸回転」はこの長方形を「y軸まわりに回転」(円周長さは「2パイx」)したものですね。
この回答への補足あり
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