No.4ベストアンサー
- 回答日時:
No.1&2です。
なるほど、「バウムクーヘン」ですね。
「x~x+dx の部分」をぐるっと一周させると、
高さ:|sin(x)|、幅(円周):2パイx、厚さ:dx
の「バウムクーヘンの一層分」の体積になります。
「バウムクーヘン」の「一層分」を、丸まっているものを横に平らに伸ばしたイメージです。
このxを、0~2パイ にわたって積分する(「バウムクーヘン」の各層の体積を足し合わせる)ことにより
V = ∫[0~2パイ][ 2パイx |sin(x)| ]dx
= 2パイ∫[0~パイ][ x*sin(x) ]dx + 2パイ∫[パイ~2パイ][ -x*sin(x) ]dx
= 2パイ∫[0~パイ][ x*sin(x) ]dx - 2パイ∫[パイ~2パイ][ x*sin(x) ]dx
ここで、「部分積分」を使うと
∫x*sin(x)dx = ∫x*( -cos(x) )' dx = -x*cos(x) + ∫x'*cos(x)dx
= -x*cos(x) + ∫cos(x)dx
= -x*cos(x) + sin(x)
ですから
V = 2パイ[ -x*cos(x) + sin(x) ][0~パイ] - 2パイ[ -x*cos(x) + sin(x) ][パイ~2パイ]
= 2パイ[ パイ + 0 ] - 2パイ[ -パイ - 0 ]
= 4パイ^2
かな?
この回答へのお礼
お礼日時:2017/07/04 10:39
お返事大変遅くなり失礼いたしました。とても参考にさせていただきました!なんども補足で説明をしていただいて、感謝しかありません。ほんとうにありがとうございます。
No.2
- 回答日時:
No.1です。
分かっているとは思いますが、「x~x+dx の部分」の高さ「sin(x)」は「正の値」でないといけませんから、パイ≦x≦2パイ の範囲では「|sin(x)| = -sin(x)」ということになります。
No.1
- 回答日時:
「y=sinx (0<x<2π)をy軸回転」させても、「曲面」にしかなりませんよ。
「体積」を持ちません。「y=sin(x) (0≦x≦2π) と x 軸とで囲まれる部分をy軸回転」か何かではありませんか?
x~x+dx の部分を「y軸回転」させたものの体積を求め、それを x=0~2パイ で積分すればよいです。
「x~x+dx の部分」は、高さ「sin(x)」、幅「dx」で、「y軸回転」はこの長方形を「y軸まわりに回転」(円周長さは「2パイx」)したものですね。
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ご回答ありがとうございます。言葉足らずで失礼いたしました。質問者様がおっしゃっているような問題です。
式はたぶんあっているのですが、答えがあっているか自信がなく、、もしよければ解が何になるかも教えていただけますか?
厚かましく申し訳ありません。
ご回答ありがとうございます。
バウムクーヘン法というのですね!とても参考にしました!
もしよければこの問題の答えも教えていただけますか?厚かましく申し訳ございません。