数学について質問です。 nを正の整数とする。 ∫[-π,π]|sin nx|dxを求めよ。

数学について質問です。


nを正の整数とする。

∫[-π,π]|sin nx|dxを求めよ。

答)4

この問題の解き方が分かりません。教えてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2016/09/28 10:39

まず、関数は偶関数なので－パイからパイの積分は2倍の0からパイの積分になります。

∫[-パイ,パイ]|sin nx|dx＝2∫[0,パイ]|sin nx|dx、これをｘ＝ｙ/ｎと変数変換すると
＝(2/ｎ)∫[0,nパイ]|sin y|dｙとなり、ここで
∫[0,nパイ]|sin y|dｙ＝(0からパイの積分)+(パイから2パイの積分)+(2パイから３パイの積分)・・・
＋(ｎ-1パイからｎパイの積分)となりますが、]|sin (y+パイ)=|－sin y|=|sin y|から
|sin y|は周期パイの関数なので、上の各区間でその関数のグラフはすべて0からパイの区間の
グラフとおなじになります。だから上の各区間の積分も∫[0,パイ]|sin y|dｙ＝∫[0,パイ]sin ydｙ＝2に
等しく、求める積分は(2/ｎ)×2ｎ＝4です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
感動しました。

お礼日時：2016/09/28 17:45

No.4 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/09/28 08:28

ついでに、一つの山の面積も、ｎと反比例するんでしょうし。

直感的には一発で解が得られそう。
積分を計算すると、コサインが出てくるんでしょう。
ｎ＝１のとき、コサインの値の１から０を引くような物、一つの山の更に半分が４つある。
ｎ＝２だと、山の数が倍になるけれど、山の横幅が半分になるから、直感的には面積は一緒。

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/09/27 22:33

ｙ＝｜sinｎｘ｜のグラフを描きましたか？

ｎ＝１のときはどんな様子で、ｎ＝２の時はどんな様子でしょうか。ｎ＝３だと。
同じ図形の面積ですから、「都合の良いところの何倍」なんて感じで出せますよね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/27 19:12

nx = y とおくと

dy/dx = n
dx = (1/n)dy

x: -パイ ～ パイ
　↓
y: -nパイ ～ nパイ

よって
∫[-パイ,パイ]|sin(nx)|dx
= ∫[-nパイ,nパイ]|sin(y)|(1/n)dy
= (1/n)∫[-nパイ,nパイ]|sin(y)|dy　　①

このうち m を正の整数として、
　2m =n (n が偶数のとき）
　2m+1 =n (n が奇数のとき）
とすると

(1) y が[ 偶数パイ～ 奇数パイ ] のときは、sin(y) ≧ 0 なので、たとえば
　∫[(2m-2)パイ,(2m-1)パイ]|sin(y)|dy
= ∫[(2m-2)パイ,(2m-1)パイ][ sin(y) ]dy　　←|sin(y)|=sin(y) として絶対値を外す
= [ -cos(y)][(2m-2)パイ,(2m-1)パイ]
= -[ (-1) - 1 ]
= 2　　　　　　②

(2) y が[ 奇数パイ～ 偶数パイ ] のときは、sin(y) ≦ 0 なので、たとえば
　∫[(2m-1)パイ,2mパイ]|sin(y)|dy
= ∫[(2m-1)パイ,2mパイ][ -sin(y) ]dy　　←|sin(y)|=-sin(y) として絶対値を外す
= [ cos(y)][(2m-1)パイ,2mパイ]
= 1 - (-1)
= 2　　　　　　③

(3) ①は周期関数で、[-nパイ,nパイ] の間に (1) を n 回、(2) を n 回繰り返すので、
∫[-パイ,パイ]|sin(nx)|dx
= (1/n)(2n + 2n)
= 4

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/09/27 18:32

偶関数だから

∫[-π,π]|sin nx|dx
=2∫[0,π]sin nxdx
=2[(-cos nx)/n]_[0,π]
=2[±1+1]/n
=4/n (nが奇数)
0 (nが偶数)