高校数学、図形量の最大最小問題

1辺の長さ１の正三角形を含む最小の正方形の1辺の長さを求めよ
という問題がわかりません。

正三角形を含む正方形など無数にありますが、どうやって調べるべき状況を減らし、変数を導入して議論していけばよいのかが検討もつきません。
どなたか教えてください。
（大学の教養範囲程度の数学ならば使っても大丈夫です）

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます。自分も（ア）の場合のみ調べれば良さそうと思いました。
  しかし、画像の（ウ）のような正方形上に正三角形の頂点がない場合は排除できることは自明としてよいとしても、（イ）の場合が排除できる理由が明確にわかりませんでした。どう説明すればよいのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/02/06 04:31

• 画像をつけ忘れました

  
    補足日時：2020/02/06 04:50

No.6 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/02/07 12:44

イは正方形を左へ動かして左右、上下反転すればアになるので

考える必要はないでしょう。

正三角形は60度回転させると元に戻るし、左右上下反転を考慮すると
30度以内の回転で考えれば充分
アで正三角形の左辺が正方形の左辺にピッタリの時θ=0
θ>0で左へ回すとすると、
正三角形の縦の長さA(θ)=cosθ
正三角形の横の長さB(θ)=cos(30°-θ)

0≦θ≦30° で考えると

Aは単調減少、Bは単調増加だから
max(A、B)はθ=15度で最小
cos15°=cos(45°-30°)=√(6)/4 - √(2)/4

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2020/02/07 22:59

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/02/06 23:19

(イ) なら, 正方形をちょっと左に動かせばいい.

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2020/02/07 23:00

No.4 回答者： 20170130 回答日時： 2020/02/06 13:36

正三角形ABC

A(0,sinθ)
B(cosθ,0)
C(cos(60-θ),sinθ+sin(60-θ))=(cos(60-θ),sin(60+θ))
0 ≦ θ ≦ 90

正方形の辺の長さは、sinθ,cosθ,cos(60-θ),sin(60+θ)の最大値
(グラフを描いて）

0 ≦ θ ≦ 15 では cosθが最大値
15 ≦ θ ≦ 45では sin(60+θ)が最大値
45 ≦ θ ≦ 75では cos(60-θ)が最大値
75 ≦ θ ≦ 90では sinθが最大値

最小は
θ=15,45,75 で cos15=sin75

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2020/02/07 23:00

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/02/06 11:26

第Ⅰ段：アが正方形の面積最小を言う

第Ⅱ段：正方形の1辺を計算する

第Ⅰ段
正方形の1辺を固定した場合、アの状態の正三角形面積が最大になる。
正三角形の側からすると、正三角形の1辺を固定して面積一定なら、正方形の面積最小。
と言えば良いワケ。

下図でAD上に点Pを取り、動かす。
動かす範囲は1/2 ≦ t ≦ √3 -1
t = √3 -1の時、△の右下が□の右下に重なった状態（回転するとアの状態）
回転なり裏返すなりすれば、このtの範囲でア、イが網羅される。

AQ+QS=DRだから
√(a²-(1-t)²)=√(a²-t²)+√(a²-1)
整理すると、a²=(4/3)(t²-t+1)
t²-t+1は2次関数だから、最大になるのは、t=√3 -1の時。
つまり、アの状態の時に正三角形面積が最大になる。

正三角形の側からすると、正三角形の1辺を固定して面積一定なら、正方形の面積最小だと言える。

第Ⅱ段
図の下段
正弦定理より
1/sin90°=x/sin75°
1=x/sin75°

∴x=sin75°＝sin(30°+45°)=sin30°･cos45°+sin45°･cos30°=(√2+√6)/4

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2020/02/07 23:01

No.2 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/02/06 07:09

一辺が1ではなく√3でまず考えて、拡大縮小しても変わらないから、後で√3で割る

複素平面で考えて
A=cosθ+isinθとし、B,C=cos(θ±π/3)+isin(θ±π/3)
とおける(Bを+側で)
A=1から考えると、対称性とかで0≤θ<π/6まで考えれば良さそう
三点のReのMAXはA,MinはB
ImのMAXはB, MinはC

正方形の一辺の長さは
Max{Re(A)-Re(B), Im(B)-Im(C)}
=Max{cosθ-cos(θ+π/3), sin(θ+π/3)-sin(θ-π/3)}
あとは三角関数の和積

これでどうにか出せませんかね？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/02/06 04:16

正方形の頂点のうち少なくとも 1つは正三角形の頂点でもある, ってことにはならない?