場合分けがわからない…(高校・三角関数)

【問題文】
ａcosθ+ｂsinθ=２を満たすθが存在するような点(ａ，ｂ)の存在範囲をａｂ平面上に図示せよ。

…………………………………


この等式を合成したあとの場合分けはａｂがそれぞれ０より大か小かで場合分すればいいのでしょうか？

そしたら４通りくらい場合分けすることになると思うのですが…


場合分けしたとしても、場合分けしたあとの方針がよくわかりません

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#128765 回答日時： 2011/02/09 09:42

まず、この問題を解く前に準備すべきことがある。

0<Θ<πとしてv1=(a,b) v2=(cosΘ,sinΘ)とおいて<v1,v2>≦|v1||v2|=|v1|
(<v1,v2>はv1とv2との内積を意味する。)
より
b>0のとき
|v1|≧2 ⇔ <v1,v2>=acosΘ＋bsinΘ=2となるΘ(0＜Θ＜π)が存在する。・・・・・(ア)


今度はb≦0の場合を考えて、b≦0のとき
v3=(1,0) v4=(-1,0)とおくと
<v1,v3>＞2または<v1,v4>＞2 ⇔　<v1,v2>=2となるΘ(0＜Θ＜π)が存在する
いいかえると
a>2またはa<-2 ⇔　<v1,v2>=2となるΘ(0＜Θ＜π)が存在する・・・・・(イ)


(ア)と(イ)が成り立つことを本当はそれぞれ示さないといけない。でもここでは省略。(証明は各自)

ヒント：⇒は(ア)、(イ)ともv1の位置をうまく固定し
v1=(a,b)=(|v1|cosα,|v1|sinα)とおき、a>0のときα＋π/2が{Θ|0＜Θ＜π}に入ることと、
v1と(|v1|cos(α＋π/2),|v1|sin(α＋π/2)との内積が0であることに注意して、
あとは(ア)と(イ)それぞれの条件に合わせて、<v1,v2>の取りうる最大値が2以上であるのと
cosΘの連続性を用いれば示せる。

逆の方は、背理法を利用しそれぞれ2つのベクトルをなす内積の最大値が2より小さいことを
使えばできる。

以上を合わせると　
{v1=(a,b)||v1|≧2,b>0} と{v1=(a,b)|a>2}と{v1=(a,b)|a<-2}との和集合が
v1=(a,b)の描く図形となる。
いいかえると(a,b)は　　　b>0のとき(a^2＋b^2)≧4
　　　　　　　　　　　　　b≦0のときa<-2,a>2
を描く。　　　　　　　　　

この回答へのお礼

合ってますね、すごい…

ベクトル使ってもできるんですか…


というか、ほんと申し訳ありませんが、

0<θ<π

は問題文に最初からあって、書きそびれた条件なんです

あと、先生が解説で紹介した方法で、知ってる人はできる回答として

ｔ=tanθ/2

としてsinθとcosθをｔを用いて表して、二次関数の問題にもっていく解法もあるらしいです


もしくは私みたいに三角関数の合成を利用しての解法とか…

この問題は、誘導がついてないので、道筋を自力で、見落としなく解く問題

京大とか早稲田とか

難関大チックな問題だと先生がいってました

お礼日時：2011/02/09 10:13

No.3 回答者： kacchann 回答日時： 2011/02/10 02:45

三角関数の合成をしたあと場合分けする方法。

---
√(a^2+b^2)sin(θ＋α)=2…(1)
をみたすθが存在する条件を求めたい。

まず、半径√(a^2+b^2)の円を描く。
で、その円周上を動く動く、点をPとする。
まず、Pの動作開始点P'の座標を(b,a)とする。
このときOP'とx軸とのなす角がα。

とりあえず今は、開始点P'が第一象限(a≧0,b≧0)にあるとする。

で、Pを、開始位置P'からさらに、角0～πの間で動かすことを考える。
このときの動かす角の量がθ。

このときのPのy座標が
√(a^2+b^2)sin(θ＋α)
(ようするに(1)の左辺)
である。

で、図から、このy座標の動く範囲をもとめると、
-a＜y≦√(a^2+b^2)…(2)

よって、
(1)の等号が成立するようなθが存在する条件は、
(2)の範囲に右辺値2が入っていればよい。
すなわち
-a＜2≦√(a^2+b^2)
---

こんなかんじ？
かなり自信なし。

この回答へのお礼

違うみたいです

…というか

問題文に

0<θ<π

という条件をいれわすれてました

すいません

あとで質問削除してその内新しく投稿します

お礼日時：2011/02/10 03:01

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2011/02/08 12:15

(a,b)=(0,0)とおくと三角方程式が成り立たないので　(a,b)≠(0,0)

このとき、左辺を合成すると
√(a^2+b^2)sin(θ+α)=2
ただし sinα=a/√(a^2+b^2), cosα=b/√(a^2+b^2)

√(a^2+b^2)（≠0）で両辺を割って
sin(θ+α)=2/√(a^2+b^2)
これを満たすθが存在するための必要十分条件は
0<2/√(a^2+b^2)≦1
4/(a^2+b^2)≦1
∴ a^2+b^2≧4　…（☆）
これは場合の条件(a,b)≠(0,0)を満たしている。
(☆)が答えの領域で(a,b)は原点を中心とする半径2の円周を含む円外の全領域
を表します。図示できますね。

この回答への補足

本当に申し訳ありませんが

θの範囲をお教えしていませんでした

０<θ<π

です

本当に申し訳ありません

補足日時：2011/02/08 12:37