この問題は媒介変数を使うと楽にできるらしく、点Pを媒介変数で設定したのですがその後どうすればいいのか

この問題は媒介変数を使うと楽にできるらしく、点Pを媒介変数で設定したのですがその後どうすればいいのか分かりません。どなたか教えてください(> <)

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/03/02 18:39

△PABの面積をABを底辺と考えて求めると、点Pと直線ABの距離が高さになります。

直線ABの方程式を求め、点と直線の距離の公式を用いれば高さが求まります。
直線ABの方程式は、
y=(2/3)x+2
2x-3y+6=0

点P(3cosθ , 2sinθ) と直線ABの距離d は公式により、
d=|2×3cosθ-3×2sinθ+6|/√{2²+(-3)²}
=|6cosθ-6sinθ+6|/√13
=6|sinθ-cosθ-1|/√13
=6|√2sin(θ-π/4)-1|/√13

△PABの底辺ABの長さは一定なので、△PABの面積が最大になるのは高さが一番長いときです。
高さはｄなので、ｄが最大になるときのθを求めれば、そのときの点Pの座標が求まります。
ｄが最大になるのは、|√2sin(θ-π/4)-1| が最大になるときです。
-√2≦√2sin(θ-π/4)≦√2 より、
-1-√2≦√2sin(θ-π/4)-1≦-1+√2
これより、|√2sin(θ-π/4)-1| の最大値は 1+√2 です。

このとき、
√2sin(θ-π/4)-1=-1-√2
√2sin(θ-π/4)=-√2
sin(θ-π/4)=-1
0≦θ<2πとすると、-π/4≦θ-π/4<7π/4 より、
θ-π/4=3π/2
θ=7π/4

これより、△PABの面積が最大になるときの点Pの座標は、( 3cos 7π/4 , 2sin 7π/4 )
したがって、P( 3√2/2 , -√2 ) です。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/01 14:05

媒介変数表示？

u = x/3, v = y/2 で置換すれば、図示一発で解けるよ。

(x,y) から (u,v) への写像は一次変換だから、
xy座標系での面積比と uv座標系での面積比は等しい。
円 u^2+v^2=1 上の3点 A’(-1,0), B’(0,1), P’ を頂点する
△A’B’P’ の面積が最大であるときの P’ の座標 (u,v) を求めて
対応する P の座標 (x,y) を計算すればいいことになる。

P’ が (1/√2, -1/√2) であることは図より自明だから、
P は (3/√2, -2/√2)。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/03/01 13:05

3点の座標から三角形の面積を求めることができる。

三角形APBの面積をSとし、書いてあるP(3cosθ, 2sinθ)を用いると、

S=(1/2)|(-3-3cosθ)(2-2sinθ)-(0-3cosθ)(0-2sinθ)|
=(1/2)|(-6+6sinθ-6cosθ+6sinθcosθ-6sinθcosθ|
=(6/2)|sinθ-cosθ-1|
=3|sinθ-cosθ-1|

加法定理より、
sinθ-cosθ=√2((1/√2)sinθ-(1/√2)cosθ))
=√2sin(θ-(π/4))

S=3|√2sin(θ-(π/4))-1|

sin(θ-(π/4))=-1のとき、Sは最大となる。
S=3|-√2-1|=3(√2+1)

このときのθは、0≦θ<2πとすると、
θ-(π/4)=(3/2)π
θ=(3/2)π+(π/4)
=(7/4)π

3cos(7/4)π=3/√2=3√2/2
2sin(7/4)π=-2/√2=-√2

ゆえに、三角形APBの面積Sが最大となるPの座標は(3√2/2, -√2)