∫[0～2π](sinθ)/(a+b*cosθ)の積分a>b>0

∫[0～2π](sinθ)/(a+b*cosθ)の積分を留数定理で教えてください。(a>b>0)
何回やってもiが残ってしまいます。お願いします

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2024/08/03 12:27

複素積分で求めるとき積分する関数は

[(1-z^2)/(bz^2＋2az＋b)]*(1/z)だけども
bz^2＋2az＋b＝0の2つの解をα、β（α＜β）とすれば
bz^2＋2az＋b＝b(z-α)(z-β)　と因数分解できるので
上の関数のz＝β　での留数は
(1/b)[(1-β^2)/(β-α)]*(1/β)＝(1/b)(1-β^2)/(β^2-αβ)＝-1/bになる
解の公式からαβ＝b/b＝1だからです。参考まで！

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/02 18:55

←No.4 ああ、そうか。

|z| = 1 なら z~ = 1/z だもんね。
依然として、素直に実積分しない理由は判らんけど。

I = ∫[0〜2π] (sinθ)/(a + b cosθ) dθ
= ∫[単位円] { (z - 1/z)/(2i) }/{ a + b(z + 1/z)/2 } dz/(iz)
= ∫[単位円] { - z^2 + 1 }/{ z (bz^2 + az + 1) } dz
= ∫[単位円] { (1/b)/z - (2/b)(z + c)/(z^2 + 2cz + 1) } dz　；c=a/b
= ∫[単位円] { (1/b)/z - (1/b)/(z + c + √(c^2-1)) - (1/b)/(z + c - √(c^2-1)) } dz.

c > 1 より、単位円内部に含まれる極は
z = 0, z = -c + √(c^2-1) の 2つだから、
留数定理より I = (1/b)・2πi + (-1/b)・2πi = 0.

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2024/08/02 18:44

うん、ぼくもｂぬかしてて計算合わんかった笑々

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2024/08/02 17:13

被積分関数の分母にbz^2＋2az+bが出てくると思うけど

その因数分解を間違えてませんか？
bz^2＋2az+b＝0の解をα、βとしたとき
bz^2＋2az+b＝b(z-α)(z-β)　となります。

この回答へのお礼

bぬかしてました。（笑）
あと０～２πなので留数定理使えるのにも気づけました。
ありがとうございました。

お礼日時：2024/08/02 18:37

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/08/02 16:05

単位円|z|＝1の内部にある特異点

z=0,z=(-a＋√a^2-b^2)/bの2点での留数を求めれば
いいんですよ。
z=0の所の留数＝1/b、z=(-a＋√a^2-b^2)/bでの留数＝-1/b
だから留数の和＝0　で求める値は0です。

この回答へのお礼

-1/bがでなかったんですよ。計算ミスどっかでやってるんだとおもうんですけど．．．

お礼日時：2024/08/02 16:45

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/02 14:18

＞ z = e^(iθ) で sinθ, cosθ を ｚ の関数で表して

それをすると、(sinθ)/(a + b cosθ) を z で表す式に
ｚ~ または ｜z｜ が登場してしまうから、いずれにせよ
複素関数としては取り扱いにくいよ。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/02 14:01

何回やっても i が残る計算を検討してみようと思ったが、

君が何をどうやったのか想像がつかない。

(sinθ)/(a + b cosθ) を θ の複素関数と見て
[0～2π] を経路の一部に含む閉路積分を考えようとすると、
(sinθ)/(a + b cosθ) の特異点が虚軸上にあるため
留数定理を使いやすいウマい閉路がみつからない。

あるいは、実 (sinθ)/(a + b cosθ) を実部か虚部に持つ
複素関数でも考えるのかな？ 何をどう計算した？

この回答へのお礼

z=e^(iθ)でsinθ、cosθをｚの関数で表して、留数定理を使おうとしたんですけど、特異点がz=0,z=(-a±√a^2-b^2)/bになって実軸上に極を持ってしまうので、そもそも留数定理が使えなくて間違ってたんだと思います。

お礼日時：2024/08/02 14:09

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/02 08:53

留数定理？ 実積分でいいじゃない。

(sinθ)/(a + b cosθ) は奇関数だから、
∫[0～2π] (sinθ)/(a + b cosθ) dθ
= ∫[-π～+π] (sinθ)/(a + b cosθ) dθ
= 0.

この回答へのお礼

あ、本当ですね。０になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2024/08/02 09:48