級数の係数を求める

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
の回答にある、以下の式変形についての質問です。

> z-pi/2=u とおくと、
> tan(z)=-cos(u)/sin(u)
> =(-1/u)*{1-u^2/2!+...}/{1-u^2/3!+...} ……(A)
> =(-1/u)*{1+3u^2+...}. ……(B)

　(A)から(B)の変形がよくわかりません。

　　u = z - π/2
　　tan(z) = sin(z)/cos(z)
　　　　　 = sin(u+π/2)/cos(u+π/2)
　　　　　 = cos(u)/-sin(u)
　　　　　 = -cos(u)/sin(u)

　　-cos(u)/sin(u)
= -(1 - u^2/2! + u^4/4! + …)/(u - u^3/3! + u^5/5! - …)
= -(1 - u^2/2! + u^4/4! + …)/u(1 - u^2/3! + u^4/5! - …)
= (-1/u)(a[0] + a[1]u^1 + a[2]^2 + …)

とおくと

　　(1 - u^2/2! + u^4/4! + …)
　= (1 - u^2/3! + u^4/5! - …)*(a[0] + a[1]u^1 + a[2]u^2 + …)

　ここで2行目(右辺)を展開して、左辺と比較することで a[0]、a[1]、a[2] … を確定したいのですが、その方法がよくわかりません。たとえば a[2] を求めるのに

　　a[2]u^2(1 - u^2/3! + u^4/5! - …) = -u^2/2!
　　a[2](1 - u^2/3! + u^4/5! - …) = -1/2!
　　a[2] = -1/2!(1 - u^2/3! + u^4/5! - …)

となってしまいます。どうしたらいいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/22 11:21

1-u^2/2!+...

を
1-u^2/3!+...
で
割り算するのです


割った結果の数
　　　-----------
割る数)割られる数

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。助かりました。

お礼日時：2024/05/22 15:38

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/22 14:16

質問の答案は、

a[2] = (-1/2!)(1 - u^2/3! + u^4/5! - …)
の右辺に u が登場する時点で
冪級数の係数比較が正しく行われてないことが判る。
そもそも、
a[2]u^2(1 - u^2/3! + u^4/5! - …) = -u^2/2!
が成立しない。(成立する根拠が何かある？)

正しい係数比較は、
(1 - u^2/2! + u^4/4! + …)
= (1 - u^2/3! + u^4/5! - …)*(a[0] + a[1]u^1 + a[2]u^2 + …)
の右辺を展開して
(1 - u^2/2! + u^4/4! + …)
= a[0] + a[1]u^1 + { (-1/3!)a[0] + 0a[2] + 1a[2] }u^2 + …
これの両辺の係数を比較して
1 = a[0],
0 = a[1],
-1/2! = (-1/3!)a[0] + 0a[2] + 1a[2],
…

これらを順に解いて、
a[0] = 1,
a[1] = 0,
a[2] = -1/3,
a[3] = …
となる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。助かりました。

お礼日時：2024/05/22 15:38

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/05/22 12:25

掛け算したい二つの級数は両方とも偶数べきの項しか持たないから

たとえばｗ＝u^2とおいてｗのべき級数の掛け算として展開して
再びｗ＝u^2とおいたほうが見やすくないですか？