sin4nx≧sinx ･･････① （0≦x≦π/2, n：正の整数）

sin4nx≧sinx　･･････①　（0≦x≦π/2, n：正の整数）

①をみたすxの範囲を和積公式を使って解いてみたいと思います。

そこで以前の質問(https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9159172.html)で、

sin4nx-sinx＝2cos[(4n+1)x/2]sin[(4n-1)x/2]≧0

ゆえに

1）cos[(4n+1)x/2]≧0　かつ　sin[(4n-1)x/2]≧0　または

2）cos[(4n+1)x/2]≦0　かつ　sin[(4n-1)x/2]≦0

の場合がある。

1）-π/2+2mπ≦(4n+1)x/2≦π/2+2mπ　かつ　2mπ≦(4n-1)x/2≦2(m+1)π　　(mは整数）

すなわち

　(4m-1)π/(4n+1)≦x≦(4m+1)π/(4n+1)　①

かつ　

　4mπ/(4n-1)≦x≦4(m+1)π/(4n-1)　　　　②

という回答(途中まで)をいただいたのですが、僕は2mπ≦(4n-1)x/2≦2(m+1)πの部分は、2mπ≦(4n-1)x/2≦π+2mπで、変形して4mπ/(4n-1)≦x≦2(2m+1)π/(4n-1)のようになると考えてしまいました。

これはどのように考えればよかったのでしょうか？
どなたか詳しく、ご教示くださいますようお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： drmuraberg 回答日時： 2016/01/30 10:08

1)の部分だけ。

1）cos[(4n+1)x/2]≧0　かつ　sin[(4n-1)x/2]≧0　
　ならば
　-Π/2 ≦ (4n+1)x/2 ≦Π/2　 　 かつ　0 ≦ (4n-1)x/2≦Π、
　-Π/2+2Π ≦ (4n+1)x/2 ≦Π/2＋2Π　かつ　2Π ≦ (4n-1)x/2≦Π＋2Π、
　-Π/2+4Π ≦ (4n+1)x/2 ≦Π/2＋4Π　かつ　4Π ≦ (4n-1)x/2≦Π＋4Π、
　-Π/2+6Π ≦ (4n+1)x/2 ≦Π/2＋6Π　かつ　6Π ≦ (4n-1)x/2≦Π＋6Π、
　・・・・・・・・・・・
まとめると
　-Π/2+2kΠ ≦ (4n+1)x/2 ≦ Π/2+2kΠ=(2k+1/2)Π かつ　
　2kΠ ≦ (4n-1)x/2 ≦ Π+2kΠ=(2k+1)Π　　　k= 0,1,2,3・・・・・

1） (4k-1)/(4n+1)*Π≦ x ≦ (4k+1)/(4n+1) *Π　かつ　
　　4k/(4n-1) *Π≦ x ≦ 2(2k+1)/(4n-1) *Π　　

となりましたが。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

4mπ/(4n-1)≦x≦2(2m+1)π/(4n-1)　(m=0, 1, 2, 3, ･･････・)

4k/(4n-1) *Π≦ x ≦ 2(2k+1)/(4n-1) *Π　k= 0,1,2,3・・・・・

mとkと置いた文字が違うだけで同じ結果なので、僕の考え方は間違っていなかったようですね。

お礼日時：2016/01/30 18:38