現在、「積分」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。
問題は
∫(x:0→1)1/{(x―1/2)^2+3/4}dx
を求めよです。
解答はx-1/2=(√3/2)tanθ
と置換し、積分範囲は、-π/6→π/6
となっています。
が、私は、5/6π→π/6
と置換しましたが、解答だと結果2√3π/9となりますが、
私の方法だと、-4√3π/9となります。
何度も計算したのですが、同じです。
私の置換方法はやはり間違っていますか?なぜ間違いなのでしょうか。
tanθ=-1/√3のとき、θは、5π/6にもなると思うのですが。うか?
私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
これはたまにやってしまうミスですね。
tan(x)は、x=π/2のところで、±∞になりますね。
x =1/2 +(√3/2)tanθ
と置換したわけですが、
置換後のθの範囲は、xがきちんと0→1と動くようにとらないといけません。
goodoさんのように、θを5/6π→1/6πって取ってしまうと、xは、0→-∞、+∞→1 というとんでもない道筋をとってしまいます。
rabbit_catさま、ご解答ありがとうございました。なるほどtanθはπ/2で定義されないのでした。いままで置換の際にそこまで考えずにやっていました。これからは気をつけたいと思います。ありがとうございました。
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