質問したい事が2つあります。 ①、以前に質問した2024.5.8 08:24の質問の2024.5.9

質問したい事が2つあります。


①、以前に質問した2024.5.8 08:24の質問の2024.5.9 11:17の解答や2024.5.9 17:30の解答より、

f(z)=tan(z)のローラン展開は導く為に、
g(z)=tan(z)(z-π/2)の式を使って、
g(z)=tan(z)(z-π/2)の式をテイラー展開して、
テイラー展開したg(z)=tan(z)(z-π/2)の式の各a(n)を求める為にテイラー展開の係数を求めるa(n)=g(n)(a)/n!の式を使ってa(-1)、a(0)、a(1)、a(2)の値を求めてから、g(z)=tan(z)(z-π/2)のテイラー展開の式を(z-π/2)で割って、f(z)=tan(z)のローラン展開は導くと教えて頂きましたが、

その上で、
a(a)=g(n)(a)/n!をの式を使って、 g(z)=tan(z)(z-π/2)のz=π/2でのテイラー展開のn=-1、n=0、n=1、n=2の時のa(-1)、a(0)、a(1)、a(2)の値を求めるまでの過程の計算をわかりやすく教えて頂けないでしょうか？



②、2024.4.22 09:12の質問の2024.4.22 14:01の解答のに書かれたURLでは
「g(z)=tan(z)(z-π/2)の式はz=π/2の時、正則ではない」みたいな事が書かれていましたが、

2024.4.26 06:08の質問の2024.4.28 08:59の解答や2024.4.30 10:15の解答より、

g(z)=tan(z)(z-π/2)の式はz=π/2の時、
g(z)=tan(z)(z-π/2)は正則ではない為、テーラー展開はできないと言われたのですが、
g(π/2)=(z-π/2)tan(z)=-1と収束する為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則である為、
g(z)=tan(z)(z-π/2)の式はz=π/2の時、テーラー展開出来ると思うのですが、この考えは正しいでしょうか？

もし間違っている場合は間違っている理由をわかりやすく教えて下さい。

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• mtrajcp様、ありがとうございます。
  2024.8.21 19:51の解答より、
  g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2で正則なので、
  以前バカ田大学さんから頂いた、
  画像の赤い下線部の
  「g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2で正則ではない。」ではなく、正しくは、
  「g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2で正則である為」と言う事でしょうか？

  
    補足日時：2024/08/22 20:24

• 田大学様、2024.8.23 17:39に頂いた解答の2024.8.23 18:20の「質問者さんからのお礼」に書いた2つの疑問に関して答えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/08/24 19:29

• g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)とした場合、
  n≧-1の時はz=π/2の時に発散してしまいローラン展開出来ないため、
  n≦-2の時、g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式は発散しないため、
  
  n≦-2の時のg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式からf(z)=tan(z)のローラン展開の式が導けると思うのですが、
  
  なぜ、n≦-2の時のg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式からf(z)=tan(z)のローラン展開の式は導けないのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/08/27 07:37

• また、私の質問に間違いがありました。
  申し訳ありません。
  
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn≧-1の時、正則ではありません。
  
  そこで改めて質問があります。
  
  n≧-1の時、
  a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)として、
  a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のtan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  ={1/(n+1)!]lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/ 2)tan(z)と導いてから、

    補足日時：2024/08/28 07:04

• g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)をローラン展開する為に、(f(z)=Σ{n=-k～∞}a(n)(z-a)^nのローラン展開の公式を)g(z)=Σ{n=-k～∞}a(n+1)(z-a)^(n+1)として、
  g(z)の式をローラン展開して、そのg(z)のローラン展開の式の係数である各a(n)を求めて、係数の各a(n)に代入して、
  
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のローラン展開の式の次項(z-a)を(n+1)ずらしてf(z)=tan(z)のローラン展開を導く事は出来るのでしょうか？
  
  周りくどいやり方かも知れませんが、導く事が出来るのかどうかが知りたくて質問致しました。
  
  お手数をお掛けして申し訳ありませんが、どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/08/28 07:04

• ③、「res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
  ={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz
  
  の積分経路は
  z=π/2を中心とする半径r>0の円周上の積分で
  0<|z-π/2|=r<π
  積分経路上では
  tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  は正則で
  積分の値はr>0に関係無く一定の値になり発散はしません
  その積分値を留数といいます」
  との事ですがn≧-1の時は例えば、
  n=-1の時、g(z)=tan(z)
  n=0の時、g(z)=tan(z)/(z-π/2)
  ...
  とn≧-1の時、g(z)の式は発散します。
  なぜ、発散しないと書いたのでしょうか？

    補足日時：2024/08/28 11:34

• ④、「積分公式から
  a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
  が成り立ち」
  との事ですが、
  積分公式を用いて、どの様にしてa(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)が成り立つのかの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/08/28 11:34

• mtrajcp様、2024.8.30 04:04に頂いた解答に関して、
  一致する事で何がわかったのかどうか教えて頂けないでしょうか？
  
  多分、
  2024.8.28 15:32の解答の
  「(z-π/2)^(n+2)g(z)=(z-π/2)tan(z)が正則になるのであって...
  
  g(z)の積分
  と
  (z-π/2)^(n+2)g(z)の微分
  が
  一致するのです」
  や
  2024.8.30 04:04の解答の
  「g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の積分
  ...
  {1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)=a(n)
  が
  一致するのです」
  
  の部分と関係があると思いますが。

    補足日時：2024/08/31 10:26

• g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式からf(z)=tan(z)のローラン展開を求める場合。
  
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式に関しては、
  n≧-1の時、
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は発散して正則ではないので、a(n)の式が作れる。
  (このa(n)の式に関しては正則とか正則じゃないとかは関係ない。)
  ただ以下の「」の様にnの値によってa(n)の値がa(n)≠0だったりa(n)=0と導けれるだけである。
  そして、
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)をローラン展開する為に、g(z)=Σ{m=-n-2～∞}a(m+n+1)(z-π/2)^mの式にg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入して、

    補足日時：2024/09/01 03:27

• g(z)の式をローラン展開して、そのg(z)のローラン展開の式の係数である各a(n)を求めて、係数の各a(n)に代入して、
  
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)のローラン展開の式の次項(z-a)を(m+n+1)ずらしてf(z)=tan(z)のローラン展開を導いた。
  
  
  「a(-1)=lim{z->π/2}(z-π/2)tan(z)=-1
  a(0)=lim{z->π/2}(d/dz)(z-π/2)tan(z)=0
  a(1)=(1/2)lim{z->π/2}(d/dz)^2(z-π/2)tan(z)=1/3
  a(2)=(1/6)lim{z->π/2}(d/dz)^3(z-π/2)tan(z)=0」
  
  
  の様にまとめてみたのですが正しいでしょうか？
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/09/01 03:27

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/21 19:51

z→π/2 のとき　(z-π/2)tan(z) が　-1 に収束する為、

z≠π/2のときg(z)=(z-π/2)tan(z)
z=π/2のときg(π/2)=-1
と定義した
g(z)はz=π/2で正則である為
g(z)はz=π/2で,テーラー展開できるという事です

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/21 16:47

a(n)

というのは
f(z)=tan(z)のローラン展開
f(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
の
(z-π/2)^n
の
係数
a(n)
を表すのです

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n

↓両辺に(z-π/2)をかけると

tan(z)(z-π/2)
=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^(n+1)
=Σ[n=0～∞]a(n-1)(z-π/2)^n

だから

z≠π/2のときg(z)=tan(z)(z-π/2)
z=π/2のときg(π/2)=-1
としたときの
g(z)のテイラー展開

g(z)
=Σ[n=0～∞]{g^(n)(π/2)/n!}(z-π/2)^n
=Σ[n=0～∞]a(n-1)(z-π/2)^n
=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

のn次の係数は

a(n-1)=g^(n)(π/2)/n!
だから

a(n)はn+1次の係数になるから

a(n)=g^(n+1)(π/2)/(n+1)!
={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){tan(z)(z-π/2)}

だから

a(-1)=g(π/2)=-1

a(0)
=g'(π/2)
=lim[z→π/2](d/dz){tan(z)(z-π/2)}
=0

a(1)
=g"(π/2)/2
=(1/2)lim[z→π/2](d/dz)^2{(z-π/2)tan(z)}
=1/3

a(2)
=g"'(π/2)/3!
={1/3!}lim[z→π/2](d/dz)^3{tan(z)(z-π/2)}
=0

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/21 04:15

a(n)

というのはn次の係数を表すのです

f(z)=tan(z)のローラン展開

f(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
の
n次項
(z-π/2)^n
の
係数
a(n)
を表すのです

ところが

z≠π/2のときg(z)=tan(z)(z-π/2)
z=π/2のときg(π/2)=-1
としたときの
g(z)のテイラー展開

g(z)
=Σ[n=0～∞]{g(n)(π/2)/n!}(z-π/2)^n
=Σ[n=0～∞]a(n-1)(z-π/2)^n
=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

の
n次項(z-π/2)^n
の係数は
a(n-1)
となるのです

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/20 19:37

①

a(a)=g(n)(a)/n!は間違っています

a(n-1)=g^(n)(π/2)/n!
か
a(n)=g^(n+1)(π/2)/(n+1)!
に
なります

f(z)=tan(z)のローラン展開は

f(z)
=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+…

z≠π/2のときg(z)=tan(z)(z-π/2)
z=π/2のときg(π/2)=-1
としたときの
g(z)のテイラー展開は

g(z)
=Σ[n=0～∞]{g(n)(π/2)/n!}(z-π/2)^n
=Σ[n=0～∞]a(n-1)(z-π/2)^n
=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

a(n-1)=g^(n)(π/2)/n!
だから

a(n)=g^(n+1)(π/2)/(n+1)!
={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){tan(z)(z-π/2)}

②
g(z)=tan(z)(z-π/2)ではありません

z≠π/2のときg(z)=tan(z)(z-π/2)
z=π/2のときg(π/2)=-1

と　g(z)を定義するのです

この回答へのお礼

g(π/2)=(z-π/2)tan(z)=-1と収束する為、z=π/2のときg(π/2)=-1と定義できる為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則である為、
g(z)=tan(z)(z-π/2)の式はz=π/2の時、テーラー展開出来ると言う事でしょうか？

お礼日時：2024/08/21 16:45

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/20 18:41

①

＞ a(-1)、a(0)、a(1)、a(2)の値を求めるまでの過程の
＞ 計算をわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

わかりやすくも何も、
あなた自身が質問文中に書いてる手順のとおりです。

tan(z)(z-π/2) の z=π/2 を中心にとするテイラー展開を
3次項まで求めましょう。
そのためには、g(z) = tan(z)(z-π/2) を３回微分すればよいです。
tan(z)(z-π/2) = g(π/2) + g’(π/2) (z-π/2) + {g”(π/2)/2}(z-π/2)^2 + {g”’(π/2)/6}(z-π/2)^3 + ...
より
tan(z) = g(π/2)/(z-π/2) + g’(π/2) + {g”(π/2)/2}(z-π/2) + {g”’(π/2)/6}(z-π/2)^2 + ...
です。この式の右辺を見れば、a(-1), a(0), a(1), a(2) が判りますね。

②
tan(z)(z-π/2) は、z=π/2 に対しては値が定義されないのですが、
g(π/2) = lim[z→π/2] g(z) で定義を追加すると
g(z) は z=π/2 でも正則になります。
(x^2 - 1)/(x - 1) の x=1 とかも似たような話ですよね。

このように、定義されていない場所での値を上手く定義して埋めると
正則になるような場合を「可除特異点」といいます。
形式的には特異点だけど、実質的には正則点みたいなもの
と考えて、正則になるように定義を追加して考えるのが通常です。
参考↓