No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>(x^2+1)/(x^4+x^2+1)の積分ってどうやるんですか?
>1/(x^2+x+1)と1/(x^2-x+1)にわけたんですけどそれじゃできそうもなくて。。。
それでできます。
∫(x^2+1)/(x^4+x^2+1)dx
=(1/2)∫{1/(x^2+x+1)}dx+(1/2)∫{1/(x^2-x+1)}dx
になっているはずなので、左側だけやってみます。
公式∫dx/(x^2+a^2)=(1/a)tan-1(x/a)を使います。
分母を平方完成すると、
x^2+x+1
=(x+1/2)^2+(3/4)
=(x+1/2)^2+(√3/2)^2
(1/2)∫{1/(x^2+x+1)}dx
=(1/2)∫dx/{(x+1/2)^2+(√3/2)^2}
x+1/2=tとおくと、dx=dt
=(1/2)∫dt/{t^2+(√3/2)^2}
=(1/2)×(2/√3)×tan-1(2t/√3)+C
=(1/√3)×tan-1{2(x+1/2)/√3}+C
=(1/√3)×tan-1{(2x+1)/√3}+C
になりました。確認してみて下さい。
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