Σ記号を用いた和の計算についてです。問題文の数列の一般項は、1+2+3+・・・+nなのですが、これ

Question

Σ記号を用いた和の計算についてです。

問題文の数列の一般項は、1+2+3+・・・+nなのですが、これはどこに着目して導いたのでしょうか？

教えてください。

masterkoto · Accepted Answer

1,1+2,1+2+3,1+2+3+4、・・・という数列は
初項a1=1
2項　a2＝１+2
a3=1+2+3
a4=1+2+3+4で
1,1+2,1+2+3,1+2+3+4、・・・⇔a1,a2,a3,a4・・・という対応関係です
これを見てわかる通り各項は
左端が１、右端は項のナンバーと一致していて
「１から項のナンバーまでの自然数の和」となっています
この規則に従えば、例えば第15項は
a15=1+2+3+・・・+15であることが予測できます
15をｎに置き換えれば、第n項は
an=1+2+3+・・・+nです　←←←　一般項

今回、Σ記号を使って続きを示すのはあなたがキャパオーバーになることを防ぐために避けることにします
直前に得られた結果より　an=1+2+3+・・・+nをみると、その右辺は　初項１、公差１、末項n,項数ｎの等差数列の和になっています
左辺のanのことはあまり意識しないで、1+2+3+・・・+nだけに集中すると　等差数列の和の公式から
1+2+3+・・・+n＝(1/2)x(初項＋末項)x(項数)=(1/2)x(1+n)xn=(1/2)n(n+1)です

ここでもともとan=1+2+3+・・・+nであったことを思い出せば、右辺は(1/2)n(n+1)に置き換えられるので
一般項は　an=(1/2)n(n+1)であるとわかります

ちなみに、1,1+2,1+2+3,1+2+3+4、・・・という数列は　足し算してしまえば　
1,3,6,10という数列ですから
隣り合う項どうしの差は等しくないので等差数列ではありませんよね、
まして等比数列でもありません。
強いて名付けるなら、お隣の項同士の差が等差数列になっている数列　です・・・（a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4から、差は２，３，４
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と言うように増える等差数列になっています）
お隣の項同士の差は「階差数列」とよばれますから、階差数列が等差数列になっている数列
これが与えられた数列「1,1+2,1+2+3,1+2+3+4、・・・」の正体なのです

kairou · Answer

書いてある通り「第n項を n(n+1)/2 とする 数列」と云う事では。

＞これはどこに着目して導いたのでしょうか？

1, 1+2, 1+2+3, ・・・, 1+2+・・・+(n-2)+(n-1)+n から 判断するしかないでしょうね。
1+2+3+・・・+(n-2)+(n-1)+n=∑n=n(n+1)/2 は 分かりますね。

で、∑{n(n+1)/2} の計算は 大丈夫ですね。
∑{n(n+1)/2}=(1/2)∑{n(n+1)}=(1/2)(∑n²+∑n) ですが。

ありものがたり · Answer

例示から一般項を導こことは、論理的には不可能です。
だから、 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4 を見て直感的に
ぱっと 1+2+3+…+n を思いつく以外にはありません。
そこから先が数学です。そこを思いつくまでのところは
単なる習慣または IQテストであって、数学ではありません。

t_fumiaki · Answer

n=1の時は1
n=2の時は1+2
n=3の時は1+2+3
n=4の時は1+2+3+4
n=5の時は1+2+3+4+5
・
・
だからn=nの時(第n項)は
1+2+3+4+5+6+7・・・・＋ｎになってるでしょ？

Σ記号を用いた和の計算についてです。 問題文の数列の一般項は、1+2+3+・・・+nなのですが、これ

1,1+2,1+2+3,1+2+3+4、・・・という数列は

書いてある通り「第n項を n(n+1)/2 とする 数列」と云う事では。

例示から一般項を導こことは、論理的には不可能です。

n=1の時は1

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

Σ記号を用いた和の計算についてです。問題文の数列の一般項は、1+2+3+・・・+nなのですが、これ

書いてある通り「第n項を n(n+1)/2 とする数列」と云う事では。