整数の和？の問題

1～300までの和から、
6で割り切れる数の和を引いたものを求めなさいという問題がありました。

試験問題だったため、
この手の問題の解き方を私は知らないため、
6の倍数を除いた1～300までの数を全て足したのですが
結局500ほどどっかで計算ミスが生じ（後半であることは察しがつきますが）
まだ残り時間はあったのと

計算ミスしちゃったか～と落ち込んでいた時に、
この問題は5択問題で選択肢を見ていたら、全部37000台だったのと
下1桁が5択全て異なったため
下1桁だけ足せば良かったんだなと気付きました。
結局残り時間は他の問題の見直しに使いました（気力が持たず）

で、家に帰ってきて、母に公式なんかがあるのか聞いたところ
公式？を教えてもらい、そういえば前にもどっかで耳にしたなと思い出しました。
で、300の和の出し方は301×150と分かったのですが

計算ミスしたとはいえ300まで足した私としては
6の倍数、計50個を足して、301×150から引くことはさほど問題ではないのですが

1～300までの6の倍数の和を求める式はあるのでしょうか？

No.1 回答者： maiko0318 回答日時： 2013/09/08 20:04

１から３００までと同じことをやりましょう。

６　１２　１８　２４・・・
300　294　288　282・・・
－－－－－－－－－－－－－－－－
306　306　306　306　・・・

ということで
306×25

です

No.2 回答者： hiroto716 回答日時： 2013/09/08 20:10

等差数列の問題ですね。

（１）1～300の和は、初項1、公差1、末項300（項数300）の等差数列
300×（1＋300）／2＝45,150

（２）6の倍数は、6・12・18・24・・・ですので
6の倍数の和は、初項6、公差6、末項300（項数300/6＝50）の等比数列
50×（6＋300）／2＝7,650

よって（１）－（２）より
45,150－7,650＝37,500

あってるかな？（汗

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2013/09/09 02:30

　「1～300まで」というのは、「イッコずつ足し算する気が絶対起きないだろう」という積もりでの出題でしょう。

まさかイッコずつ足し算するとは！と採点する方もビックリしてるだろうなあ。

　1～300までの間に6の倍数がいくつあるかがスグお分かりになる、という力があるのなら、
　　6 + 12 + … + 300
　　= 6×(1 + 2 + … + 50)
とやるのが良いでしょう。括弧内は、ご母堂の教えに従えば瞬殺。

　さて、このご母堂の教えのエッセンスこそが、実はNo.1の考え方なんです。つまり、最初の項と最後の項、二番目の項と最後から2番目の項、…をペアにしてやるんですね。（1+2+…+300の場合でも、1+2+…50の場合でも、項が偶数個あるから全部ペアにまとまる。もし項が奇数個なら、最初か最後の一つを別勘定にすれば良いんです。）これを理解しさえすれば「公式を暗記する」なんてクダラナイことは必要なくなります。
　その公式を書いたのがNo.2ですけど、「等差数列」は「等差級数」と書くべきもの。筆が滑ったのかな？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

300の中に6の倍数が50個あることは分かったのですが
その和はどうやって求められるんだろうと思ったのですが
1～50の和×6でいいんですね。

そもそもの数学・算数の知識が足りないのか
こういうひらめきが全く無いもので…。

お礼日時：2013/09/09 16:53

No.4 回答者： chie65535 回答日時： 2013/09/09 16:26

＞で、300の和の出し方は301×150と分かったのですが

1+2+3+4+…+297+298+299+300=

これは、順番を入れ替えれば

1+300+2+299+3+298+4+297+…+147+154+148+153+149+152+150+151=

になります。

1+300も2+299も3+298も4+297、全部「足したら301」です。足したら301になるのが150組あります。

1～300までの300個を、２個づつにしたのですから、組の数は300÷2で150です。

だから「301×150＝45150」になるのです。

6+12+18+…+274+300も「２つ足して306になるペア」にします。

300を6で割れば50で、「300は50個目」と判ります。なので「50個を2個づつ組にすると、25組できる」と判ります。

すると「306が25組」なので「306×25＝7650」です。

45150-7650＝37500、が答えです。

「１～ｎまで足した和」は、以下のように考えます。

○
○○
○○○
○○○○
○○○○○
○○○○○○
○○○○○○○
○○○○○○○○
○○○○○○○○○

逆さにひっくり返したのを、横にドッキングする。

○●●●●●●●●●
○○●●●●●●●●
○○○●●●●●●●
○○○○●●●●●●
○○○○○●●●●●
○○○○○○●●●●
○○○○○○○●●●
○○○○○○○○●●
○○○○○○○○○●

すると、横は「n+1」になって、縦は「n」になります。

この「四角く並べた個数」は「ｎ（ｎ＋１）」で、求めたい数の「２倍」になってますから、２で割ります。

すると「ｎ（ｎ＋１）÷２」になります。

１～３００なら「３００×（３００＋１）÷２」で、３００を先に２で割っちゃえば「１５０×（３００＋１）」になり「１５０×３０１」になります。

「1～300までの6の倍数の和」も、「○１つ、●１つが６」って考えて「１～５０の和の６倍」って考えれば「５０×５１÷２×６＝５０×５１×３＝７６５０」が出て来ます。