数Ⅱ 式と証明 (2X³-1/3X²)⁵ の定数項を求めよ。 写真が解答です。なぜ写真の赤線のように

数Ⅱ 式と証明

(2X³-1/3X²)⁵ の定数項を求めよ。

写真が解答です。なぜ写真の赤線のようになるのですか？簡単な初歩的な問題だとは思いますがお手柔らかにお願いします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/03 00:00

要は、二項定理を知ってるかどうかだけでしょ。

二項定理を使うと、 (2X^3 - 1/(3X^2))^5 = Σ[r=0...5] (5Cr){ (2X^3)^(5^r) }{ (-3X^2))^-r }
= Σ[r=0...5] (5Cr){(2^(5-r))((-3)^-r)}X^(3(5-r)-2r)
= Σ[r=0...5] {(5Cr)(2^(5-r))((-3)^-r)}X^(15-5r).
Σの中身の項が定数項になる条件は 15-5r = 0 で、すなわち r = 3.
その項の係数は、(5Cr)(2^(5-r))((-3)^-r) = (5C3)(2^2)((-3)3^-3) = 10・4/(-27) = -40/27.

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/09/02 21:03

定数項になるには、分子の x の指数と 分母の x の 指数が 同じにならなければなりません。

つまり、(2x³)²{1/(3x²)}³ の係数を 求めることになります。
画像は 二項定理を使っていますが、5乗くらいなら
パスカルの三角形 を使って、-10(2x³)²{1/(3x²)}³=-40x⁶/27x⁶=-40/27 。
この方が 早いように思いますが。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/09/02 20:40

定数項なので、ｘが消えなければなりません。

ｘがあるのは、{x^(15-3r)} / {x^2r} のところだけです。
ｘが消えるためには、分母と分子のｘの個数が同じになるので、約分すると１になります。