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数Ⅱ 式と証明

(2X³-1/3X²)⁵ の定数項を求めよ。

写真が解答です。なぜ写真の赤線のようになるのですか?簡単な初歩的な問題だとは思いますがお手柔らかにお願いします。

「数Ⅱ 式と証明 (2X³-1/3X²)⁵」の質問画像

A 回答 (3件)

要は、二項定理を知ってるかどうかだけでしょ。


二項定理を使うと、 (2X^3 - 1/(3X^2))^5 = Σ[r=0...5] (5Cr){ (2X^3)^(5^r) }{ (-3X^2))^-r }
= Σ[r=0...5] (5Cr){(2^(5-r))((-3)^-r)}X^(3(5-r)-2r)
= Σ[r=0...5] {(5Cr)(2^(5-r))((-3)^-r)}X^(15-5r).
Σの中身の項が定数項になる条件は 15-5r = 0 で、すなわち r = 3.
その項の係数は、(5Cr)(2^(5-r))((-3)^-r) = (5C3)(2^2)((-3)3^-3) = 10・4/(-27) = -40/27.
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定数項になるには、分子の x の指数と 分母の x の 指数が 同じにならなければなりません。


つまり、(2x³)²{1/(3x²)}³ の係数を 求めることになります。
画像は 二項定理を使っていますが、5乗くらいなら
パスカルの三角形 を使って、-10(2x³)²{1/(3x²)}³=-40x⁶/27x⁶=-40/27 。
この方が 早いように思いますが。
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定数項なので、xが消えなければなりません。


xがあるのは、{x^(15-3r)} / {x^2r} のところだけです。
xが消えるためには、分母と分子のxの個数が同じになるので、約分すると1になります。
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