群数列の解き方、教えてください！

公務員試験の対策に問題集を解いています。
つぎの問題の解法を教えてください。

第n項がAn（「A」は大きい「ａ」の文字です）＝２n－１（n＝１，２，３，４）である数列｛An｝を、
下のようにA1、A2を１群、A3、A4、A5、A6を第２群、A7、A8、A9…A14を第３群……とし、
第m群が２m乗の項を含むように区分する。

１，３，｜５，７，９，１１，｜１３，１５，１７，１９，２１，２３，２５，２７，｜２９，………

このとき、第m群の最初の項はいくつか。


またこの問題の他にも、
群数列の典型的な問題
（ex.) 第n群の項の和を求めよ。 〇〇は第何群の第1項から数えて何番目の項か。 ）など、
公務員試験レベルで押さえておいた方がいい問題、その解法、公式など教えて頂ければ幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/03/15 19:57

こんばんわ。

＞公務員試験レベルで押さえておいた方がいい
群数列はなかなか手ごわいですよね。正直、センタ試験でも出るくらいですし。
センタ試験でも何度か問題は出ているので、その辺りを解いてみるのもいいかと思います。


私なりに、以下いろいろと書いてみます。
参考になれば幸いです。

(1) 群数列には、
・もとの数列：A(n)と
・第 p群に属している項数：G(p)

の 2つの数列が絡んできます。
いまの問題であれば、A(n)＝ 2n-1、G(p)＝ 2^pとなっています。


(2) 第 p群の第 1項が全体で何番目になるかを求めます。
（第 p群の最後が全体で何番目になるかでもいいです。）
これは必ず必要になる計算です。
第 p群の第 1項は、第 p-1群の最後の項の次ですから
全体では、Σ[k=1～p-1] G(k) + 1番目として求められます。

これも、いまの問題に当てはめると、第 p群の第 1項は全体で
Σ[k=1～p-1] 2^k + 1＝ 2^p- 1 番目になります。

これがわかると、第 p群の第 1項にある数は
A(2^p-1)＝ 2(2^p- 1)- 1＝ 2^(p+1)- 3と求められます。


(3) 群数列は、群＝丁目、番目＝番地のような感じになります（と思っています）。
「〇〇は第何群の第1項から数えて何番目の項か」といった問題では、
・まず、何丁目（第何群）にあって
・その中で、何番地なのか

という順番で求めていきます。
このときにも (2)で求めた「群の先頭」が利いてきます。
不等式で第何群に属しているのか、絞り込んでいくことになります。


正直、わかりにくいところもあるかもしれません。
また、補足してください。

この回答への補足

naniwacchiさん、ご回答ありがとうございます。
さっそく自分でも解いてみたのですが、計算過程でおかしなことになってしまいました('A`)

「第 m群の第 1項は、第 m-1群の最後の項の次ですから
全体では、Σ[k=1～m-1] G(k) + 1番目として求められます。」
という部分は頭では理解でき、式を解いてみたのですが

私がすると
Σ[k=1～m-1] 2^k + 1
＝ (m-1)m/2+１となり、これを解いても
m＾2-m+2/2
という結果になり、そこで止まってしまいました。

シグマの計算の仕方で、
Σ[k=1～n]k=n(n+1)/2
という公式を使ったのですが、これがまずかったでしょうか・・・？

丁寧にご回答くださっているのにアホですみません…゜(゜´Д｀゜)゜

補足日時：2011/03/15 21:48

No.6 回答者： puusannya 回答日時： 2011/03/16 11:45

No.2の解答者ですが、数列などを使って書いたほうがいいのなら、次のように考えました。

ｍ群の最初に来る数は、その数が前からｎ番目の数であるとすると、２ｎ＋１　ですから、
ｍ群の最初の数は前から何番目の数かが問題になるわけです。

１群に２個、２群に４個、・・・・ｍ群に２ｍ個　の数が使われているので、
その合計は、それらが初項２、公差２の等差数列なので、ｍ－１項までの和は
（ｍ－１）（４＋2(m-2)）／２＝ｍ（ｍ－１）
ｍ群の最初の数はこの次の数ですから、ｍ（ｍー１）＋１＝ｍ＾２－ｍ＋１　番目の数になります。

だから　ｍ群の最初の数は　２（ｍ＾２－ｍ＋１）ー１＝２ｍ＾２－２ｍ＋１

「第ｍ－１群迄に含まれている数の合計は　
各群に含まれている数の個数が、初項２、公差２の等差数列をなしているので、
ｍ（ｍ－１）　と表される。
だから　ｍ群の最初の数は　２（ｍ＾２－ｍ＋１）ー１＝２ｍ＾２－２ｍ＋１　である。」
　
答案とすればこれくらいの形でいいのでしょうか。

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/03/16 10:41

#4です。

こちらこそ、たびたび読み間違いをしているようですみません。>_<
「2m乗」とは、「2の m乗」ということですよね・・・

そうすれば、#1の回答で述べている以下の部分で、pを mに読み替えればよいかと。
-------------------------------------------------------------
＞これも、いまの問題に当てはめると、第 p群の第 1項は全体で
＞Σ[k=1～p-1] 2^k + 1＝ 2^p- 1 番目になります。

＞これがわかると、第 p群の第 1項にある数は
＞A(2^p-1)＝ 2(2^p- 1)- 1＝ 2^(p+1)- 3と求められます。
-------------------------------------------------------------
上半分に関する式は、#3で添付している式になります。


とにかく群数列は、「どちらの数列を計算しているのか」を見失いやすいです。
nとか mという変数も、なるだけ同じものを使わないようにするといった
工夫もした方がいいと思います。

たとえば、
・もとの数列を表すときには、「n」を用いて、
・第何群の何番目については、「第 p群の q番目」と表す。

といった感じです。

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/03/15 23:50

#3です。

＞すみません、＃１さんは何をもってこれが等比数列だと見極められたのでしょうか？
＞数列An=２n-1という「２」の部分ですか？
＞「第m項群が２＾m」という部分ですか？
後者の「第 m群に含まれる項の数が 2^m個だから」になります。
と思ったのですが・・・、問題文を見落としていましたね。

「第m群が２m乗の項を含むように区分する。」
なので、訂正です。
Σ[k=1～m-1] (2m)+ 1＝ (m-1)m+ 1

失礼しました。

この回答への補足

たびたびすみません。

＃１さんの解法、最初ので当っていると思います。
というのも添付してくださった数式が、問題集の解答にまるまる載っていて。正解も当初＃１さんが解いてくださっていた通り、
２~m+１－３となっていました。

もう一度、なぜ添付のような式になったのか教えて頂いていいでしょうか？
（等比数列の和の公式と、少し違った式だったので；）

補足日時：2011/03/16 00:36

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/03/15 22:09

#1です。

＞私がすると
＞Σ[k=1～m-1] 2^k + 1
＞＝ (m-1)m/2+１となり、これを解いても
テキストにすると、見づらいかもしれませんね。
「等比数列の和」を計算しないといけません。

添付に数式としたものを載せておきます。

この回答への補足

すみません、＃１さんは何をもってこれが等比数列だと見極められたのでしょうか？

数列An=２n-1という「２」の部分ですか？

「第m項群が２＾m」という部分ですか？

わからなくなってきました…(-"-)
でもわかりたいです！回答お願いします！！

補足日時：2011/03/15 22:59

No.2 回答者： puusannya 回答日時： 2011/03/15 20:18

公務員試験の事に関しましてはまったく知識がありませんので、お許しください。

ご質問あった問題に関してのみ書かせていただきます。

１群・・・１，３＝４－１＝１×２×２－１
２群・・・５，７，９、１１＝１２－１＝２×３×２－１
３群・・・１３，１５，１７，１９，２１、２３＝２４－１＝３×４×２－１

ｍ－１群・・・　・　・　・　　　（ｍ－１）×ｍ×２－１

と、一番末尾に書かれている数の次の数４，１２，２４に注目して、この数列の各項と群の数とのつながりを考えました。一番後ろに来る数に着目し、奇数は考えにくいので、その前後の偶数を使って考えることが多かったように思います。

　　ｍ群の最初の数は　２ｍ（ｍ－１）ー１＋２＝２ｍ（ｍ－１）＋１

この回答へのお礼

回答いただき、ありがとうございます。
自分でも計算してみます！

お礼日時：2011/03/15 21:50