数列の和の比較

∑[k=1→n]1/k = 1 + 1/2 + … + 1/n ……(1)

　　∑[k=0→n]1/2^k = 1 + 1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^n …… (2)

　(1)の調和数列は一般的な式で表すことはできませんが(2)もそうでしょうか。
　また(1)と(2)の大小を比較する方法がありましたら教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/23 21:42

∑[k=0→n]1/2^k = 1 + 1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^n …… (2)

は
初項1,公比1/2の等比数列のn+1項の和だから
だから
∑[k=0→n]1/2^k
=(1-1/2^{n+1})/(1-1/2)
=2(1-1/2^{n+1})
=
2-(1/2^n)

1+1/2+1/3+1/4=2+1/12
だから
n≧4のとき

∑[k=0→n]1/2^k
=2-(1/2^n)
<2
<2+1/12
=1+1/2+1/3+1/4
≦∑[k=1→n]1/k

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2024/02/23 22:36

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/23 21:31

∑[k=0→n]1/2^k = 1 + 1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^n …… (2)

は
初項1,公比1/2の等比数列のn+1項の和だから
だから
∑[k=0→n]1/2^k
=(1-1/2^{n+1})/(1-1/2)
=2(1-1/2^{n+1})
=
2-(1/2^n)

∑[k=0→n]1/2^k=2-(1/2^n)<2<∑[k=1→n]1/k

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/23 21:19

No.1 です。

失礼、加算の範囲が一方は
　1 → n
他方は
　0 → n
でしたね。

なので、求めたいものは

　∑[k=0→n]1/2^k = 1 + ∑[k=1→n]1/2^k

との比較ですね。

なので、比較は

n = 1 のとき　
　　∑[k=1→n]1/k = 1
　　1 + ∑[k=1→n]1/2^k = 1 + 1/2 = 3/2
なので
　∑[k=1→n]1/k < ∑[k=0→n]1/2^k

n = 2 のとき　
　　∑[k=1→n]1/k = 1 + 1/2 = 3/2
　　1 + ∑[k=1→n]1/2^k = 1 + 1/2 + 1/4 = 3/2 + 1/4
なので
　∑[k=1→n]1/k < ∑[k=0→n]1/2^k

n = 3 のとき　
　　∑[k=1→n]1/k = 1 + 1/2 + 1/3 = 1 + 5/6
　　1 + ∑[k=1→n]1/2^k = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 1 + 7/8
なので
　∑[k=1→n]1/k < ∑[k=0→n]1/2^k

n = 4 のとき
　　∑[k=1→n]1/k = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 1 + 13/12
　　1 + ∑[k=1→n]1/2^k = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 1 + 15/16
なので、ここで逆転して
　∑[k=1→n]1/k > ∑[k=0→n]1/2^k

以降は
　1/k > 1/2^k
なので、再度逆転することはない。

従って、
　0 < n < 4 のとき
　　∑[k=1→n]1/k < ∑[k=0→n]1/2^k
　4 ≦ n のとき
　　∑[k=1→n]1/k > ∑[k=0→n]1/2^k

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2024/02/23 22:36

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/23 20:47

項数 n が等しいのなら、

　1/k と 1/2^k
の比較をすればよい。

(1/k)/(1/2^k) = (2^k) / k

k = 1 のとき　2/1 > 1
k = 2 のとき　2^2 / 2 > 1
k = 3 のとき　2^3 / 3 > 1
・・・

だから
　(1/k)/(1/2^k) > 1
つまり
　(1/k) > (1/2^k)

それを加算したものも
　∑[k=1→n]1/k > ∑[k=0→n]1/2^k